Théorie ergodique

La théorie ergodique est une branche des mathématiques née de l'étude de l'hypothèse ergodique formulée par le physicien Ludwig Boltzmann en 1871 pour sa théorie cinétique des gaz.

Catégories :

Théorie ergodique - Physique statistique - Statistiques

Source image : univ-rouen.fr
Cette image est un résultat de recherche de Google Image. Elle est peut-être réduite par rapport à l'originale et/ou protégée par des droits d'auteur.

Page(s) en rapport avec ce sujet :

La théorie ergodique est un th`eme mathématique extrêmement vaste qu'on...... sure preserving dynamical systems, `A paraıtre dans Ergodic Theory and... (source : univ-rouen)
En général, la théorie ergodique est l'étude mathématique du comportement.... [Far94], I. Farquhar, " Ergodic theory in statistical mechanics "... (source : membres.multimania)

La théorie ergodique est une branche des mathématiques née de l'étude de l'hypothèse ergodique formulée par le physicien Ludwig Boltzmann en 1871 pour sa théorie cinétique des gaz. Elle a connu de nombreux développements en relation étroite avec la théorie des systèmes dynamiques et la théorie du chaos.

Notations

Dynamique discrète

Article détaillé : Système dynamique mesuré.

L'objet d'étude en principe ergodique est un triplet $( (X, B), μ, Φ)$ où :

$(X, B)$ est un espace mesurable, (c'est-à-dire que $B$ est une tribu sur $X$ )

$μ$ une mesure sur $(X, B)$ ,

$\phi : X \to X$ une application préservant la mesure $μ$ , c'est-à-dire telle que :

$\forall \ A \in B \ , \quad (\mu \circ \phiˆ{-1}) (A) \ = \ \mu \left[ \phiˆ{-1} (A)\right] \ = \ \mu(A)$

L'application $\phi : X \to X$ génère une dynamique discrète : partant d'un point $x_0 \in X$ , on obtient successivement $x 1 = φ (x 0)$ , puis $x 2 = φ (x 1) = φ 2 (x 0)$ , et ainsi de suite.

Dynamique continue

On peut étendre l'étude au cas d'une dynamique continue en remplaçant l'application $\phi : X \to X$ précédente par un flot sur X, c'est-à-dire un groupe continu à un paramètre $\phi_t : X \to X$ tel que :

$\phi_0 \ = \ \mathrm{Id}$

$\forall \ (t,s) \, \in \, \mathbb{R}ˆ2 \, \quad \phi_t \ \circ \phi_s \ = \ \phi_{t+s}$

Ce cas est spécifiquement important dans la mesure où il inclut le flot hamiltonien de la mécanique classique, mais aussi le flot géodésique.

Flot ou «cascade» ?

Le cas continu englobe le cas discret, car on peut toujours construire une application discrète à partir d'un flot continu, en posant par exemple $φ = φ t = 1$ pour l'unité de temps. Poursuivant l'ressemblance avec le vocabulaire de l'hydrodynamique, l'application discrète est tandis quelquefois baptisée «cascade» par certains mathématiciens.

Définition de l'ergodicité

L'application $\varphi : X \rightarrow X$ est dite ergodique pour une mesure donnée si et uniquement si tout ensemble mesurable invariant sous $\varphi$ est de mesure nulle, ou de complémentaire de mesure nulle.

L'ergodicité capture la notion d'irréductibilité en principe de la mesure : pour toute partition d'un dispositif dynamique ergodique en deux sous-systèmes invariants, l'un des deux est trivial ou négligeable, au sens où il vit sur un ensemble de mesure nulle.

Une application satisfaisant cette propriété était jadis aussi dite «métriquement transitive».

Théorème ergodique de Birkhoff

Article connexe : Théorème ergodique#Théorème ergodique de Birkhoff.

Moyenne temporelle & moyenne microcanonique

Soit f une «bonne» fonction sur X. On définit sa valeur moyenne temporelle par la limite (si elle existe) :

$\overline{f(x_0)} \ = \ \lim_{n \rightarrow + \infty} \ \frac{1}{n} \ \sum_{k=0}ˆ{n-1} \ f \left( \phiˆk (x_0) \right)$

Elle dépend a priori de la condition d'origine $x 0$ . On peut aussi définir la moyenne spatiale de f, ou moyenne microcanonique, par :

$\langle \ f \ \rangle \ = \ \frac{1}{\mu(X)} \ \int_X f\,d\mu$

La moyenne spatiale et la moyenne temporelle n'ont a priori pas de raison d'être identiques.

Théorème de Birkhoff (1931)

Quand l'application $φ$ est ergodique, moyenne spatiale et moyenne temporelle sont égales presque partout. Ce résultat forme le célèbre théorème ergodique de Birkhoff ^[1].

Temps de séjour moyen

Soit $A \subset X$ un sous-ensemble mesurable de X. On nomme temps de séjour dans A le temps total passé par le dispositif dynamique dans A au cours de son évolution. Une conséquence du théorème ergodique est que le temps de séjour moyen est égal au rapport de la mesure de A par la mesure de X :

$\lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{1}{n} \ \sum_{k=0}ˆ{n-1} \ \chi_A\left(\phiˆk (x)\right) \ = \ \frac{1}{\mu(X)} \int_X \chi_A \, d\mu \ = \ \frac{\mu(A)}{\mu(X)}$

où $χ A$ est la fonction indicatrice de A.

Récurrences

Théorème de récurrence de Poincaré

Article détaillé : Théorème de récurrence.

Récurrence d'un point : Soit $A \subset X$ un sous-ensemble mesurable. Un point $x \in A$ est dit récurrent comparé à A si et uniquement s'il existe une illimitété d'entiers $k \ge 1$ pour lesquels :

$\phiˆk(x) \ \in \ A$

Théorème de récurrence de Poincaré : Soit $A \subset X$ un sous-ensemble mesurable de mesure strictement positive. Alors, presque l'ensemble des points $x_0 \in A$ sont récurrents comparé à A.

Temps de récurrence moyen

Un instant k tel que $φ k (x)$ est dans un ensemble mesurable A est nommé instant d'occurrence de A. Ces instants d'occurrence peuvent être classés par ordre croissant dans un ensemble dénombrable : $\{ k_0, k_1, \dots, k_i, \dots \}$ avec $k i + 1 > k i$ .

Les différences positives $r i = k i - k i - 1$ entre deux instants d'occurrence consécutifs sont nommés les durée de récurrence de A.

Une conséquence du théorème ergodique est que la durée moyenne de récurrence de A est inversement proportionnelle à la mesure de A, sous l'hypothèse que la condition d'origine x appartient à A, de telle sorte que k₀ = 0.

$\lim_{n \to + \infty} \ \frac{1}{n} \ \sum_{i=1}ˆn r_i \ = \ \frac{1}{\mu(A)} \quad\mbox{(presque partout)}$

Ainsi, plus la totalité A est «petit» et plus il faut attendre longtemps en moyenne avant d'y retourner. Malheureusement, ce résultat ne nous renseigne pas sur l'écart-type de la distribution des temps de récurrence. A titre d'exemple, pour le modèle des urnes d'Ehrenfest, Kac a pu démontrer^[2] que cet écart-type tendait vers l'infini quand le nombre de boules du modèle tendait vers l'infini, de telle sorte que des fluctuations importantes autour de la durée moyenne de récurrence devenaient de moins en moins improbables.

Hiérarchie ergodique

Système mélangeant

On dit que le dispositif $(\Omega,\mathcal{F},\mu,T)$ est mélangeant si quels que soient les événements (ensembles) $A$ et $B$ dans $\mathcal{F}$ , la corrélation

$\mu(A\cap Tˆ{-n}(B))-\mu(A)\mu(B)$ tend vers 0 quand $n$ tend vers l'infini.

Hyperbolicité et dispositif d'Anosov

Article détaillé : Système d'Anosov.

Système de Bernoulli

La hiérarchie ergodique

Exemple : le flot ergodique sur une variété

L'ergodicité du flot géodésique sur une variété à courbure négative a été découverte par Hopf^[3] en 1939.

La relation entre le flot géodésique et les sous-groupes à un paramètre de SL2 (R) a été établie par Fomin et Gelfand^[4] en 1952.

L'ergodicité du flot géodésique sur les espaces symétriques a été établie par Mautner ^[5] en 1957.

Un critère simple pour l'ergodicité d'un flot homogène sur un espace homogène d'un groupe de Lie semi-simple a été établi par Moore ^[6] en 1966.

Énormément des théorèmes et résultats de ce domaine d'étude sont typiques de la théorie de la rigidité

Les flots d'Anosov forment un exemple de flots ergodiques sur SL2 (R) et , d'une façon plus générale, sur une surface de Riemann à courbure négative. La majorité des développements à ce sujet se généralisent à des variétés hyperboliques à courbure négative constante, celles-ci pouvant être vues comme l'espace quotient d'un espace hyperbolique simplement connexe par un groupe discret de SO (n, 1) .

Théorie ergodique & mécanique statistique

En dépit de progrès importants réalisés en principe ergodique depuis la formulation par Boltzmann de l'hypothèse ergodique, son utilisation pour justifier l'utilisation de la totalité microcanonique en mécanique statistique reste à ce jour controversée ^[7].

Problèmes ouverts

Le mathématicien Sergiy Kolyada maintient une liste de problèmes ouverts en principe ergodique sur son site web.

Bibliographie

Aspects historiques

M. Mathieu ; On the origin of the notion "Ergodic Theory", Expositiones Mathematicæ 6 (1988) 373.

Giovanni Gallavotti ; Ergodicity, ensembles, irreversibility in Boltzmann and beyond, (1994). Texte complet disponible sur l'ArXiv : chao-dyn/9403004.

Ouvrages modernes

Vladimir I. Arnold & André Avez ; Ergodic Problems of Classical Mechanics, Advanced Book Classics, Pearson Addison Wesley (Mai 1989), ASIN 0201094061.

Ya G. Sinaï ; Introduction to Ergodic Theory, Princeton University Press (1976), ISBN

I. P. Cornfeld, S. V. Fomin & Y. G. Sinai ; Ergodic Theory, # Springer-Verlag (1982), ISBN 3-540-90580-4.

Karl Petersen ; Ergodic Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambrides University Press (1983), ISBN 0-521-38997-6.

Yakov Pesin & Luis Barreira ; Lyapunov Exponents and Smooth Ergodic Theory, University Lecture Series 23, American Mathematical Society, Providence (2001), ISBN 0-8218-2921-1.

Tim Bedford, Michæl Keane & Caroline Series (eds. ) ; Ergodic theory, symbolic dynamics and hyperbolic spaces, Oxford University Press (1991), ISBN 0-19-853390-X.

Jean Moulin Ollagnier ; Ergodic Theory and Statistical Mechanics, Lecture Notes in Mathematics 1115, Springer-Verlag (1985).

Henk van Beijeren ; On some common misconceptions regarding the "Ergodic Hierarchy", (2004). Texte complet disponible sur l'ArXiv : cond-mat/0407730.

Articles originaux

Eberhard Hopf ; Ergodic theory & the geodesic flow on a surface of constant negative curvature, Bulletin of the American Mathematical Society 77 (6) (1971) 863.

Eberhard Hopf ; Differential geometry in the large - 1956 lectures notes, Lectures Notes in Mathematics 1000, Springer-Verlag (1983).

G. A. Margulis ; Application of ergodic theory to the investigation of manifold of negative curvature, Functionnal Analysis & Applications 3 (1969) 355.

Y. Pesin ; Characteristic Lyapounov exponents & smooth ergodic theory, Russian Mathematical Surveys 32 (4) (1982) 54.

Y. Pesin ; Geodesic flows with hyperbolic behaviour of the trajectories & objects connected with them, Russian Mathematical Surveys 36 (1981) 1.

Bibliothèque virtuelle

Joël Lebowitz & Oliver Penrose ; Modern Ergodic Theory, Physics Today, 26 (February 1973), 155-175. pdf.

David Ruelle ; Ergodic theory of differentiable dynamical systems, Publications Mathématiques de l'IHÉS 50 (1979), 27-58. Texte complet disponible au format pdf.

Mark Pollicott ; Lectures on ergodic theory, geodesic flows and related topics, Ulm (2003). Notes de cours non corrigées au format pdf.

Charles Pugh & Michæl Shub (appendix by Alexander Starkov) ; Stable ergodicity, Bulletin of the American Mathematical Society 41 (2004), 1-41. Texte disponible en ligne.

Notes

↑ George D. Birkhoff ; Proof of the ergodic theorem, Proceedings of the National Academy of Sciences USA 17 (1931) 656-660.
↑ Mark Kac ; Probability and related topics in physical science, Lectures in Applied Mathematics Series, Vol 1a, American Mathematical Society (1957), ISBN 0-8218-0047-7.
↑ Eberhard Hopf ; Statistik der geodätischen Linien in Mannigfaltigkeiten negativer Krümmung, Leipzig Ber. Verhandl. Sächs. Akad. Wiss. 91 (1939) 261-304.
↑ Sergei V. Fomin & Isræl M. Gelfand ; Geodesic flows on manifolds of constant negative curvature, Uspehi Mat. Nauk 7 no. 1. (1952) 118-137.
↑ F. I. Mautner ; Geodesic flows on symmetric Riemann spaces, Annals of Mathematics 65 (1957) 416-431.
↑ C. C. Moore ; Ergodicity of flows on homogeneous spaces, American Journal of Mathematics 88 (1966) 154-178.
↑ Lire par exemple les articles de revue en physique théorique :
- George W. Mackey ; Ergodic Theory and its Significance for Statistical Mechanics and Probability Theory, Advances in Mathematics 12 (2) (1974), 178-268.
- Oliver Penrose ; Foundations of Statistical Mechanics, Report on Progress in Physics 42 (1979), 1937-2006.
- Domokos Szasz ; Botzmann's ergodic hypothesis, a conjecture for centuries ?, Studia Scientiarium Mathematicarum Hungarica (Budapest ) 31 (1996) 299-322. Texte au format Postscript.
mais aussi les essais philosophiques :
- Massimiliano Badino ; The Foundational Role of Ergodic Theory, (2005). Texte au format Word.
- Jos Uffink ; Compendium of the foundations of classical statistical physics, (2006). Texte au format pdf.

Recherche sur Amazone (livres) :

Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_ergodique.
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 07/04/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.