Théorie de la décision

La théorie de la décision est une théorie de mathématiques appliquées ayant pour objet la prise de décision en univers risqué.



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La théorie de la décision est une théorie de mathématiques appliquées ayant pour objet la prise de décision en univers risqué.

Les limites de la théorie des probabilités

En présences de choix, la théorie des probabilités propose de calculer les espérances mathématiques de gain et d'opter pour le choix qui maximise cette espérance de gain. Cependant ce procédé a plusieurs limites. La théorie de la décision vise à apporter une réponse à ces cas limites.

Risque ou incertitude ?

En théorie de la décision, on distingue le risque de l'incertitude. Le risque sert à désigner une situation dans laquelle les distributions de probabilités sur les résultats existent et sont connues des agents : c'est par exemple le cas du loto ou d'un lancer de dés. L'attitude vis-à-vis du risque d'un décideur est principale pour comprendre son comportement face à des situations risquées. Considérons le choix de participer à un jeu où le joueur a une chance sur dix de gagner cent fois sa mise. L'espérance de gain est particulièrement positive et tout joueur serait prêt à miser 1 euro ; mais qui ferait le choix de jouer si la mise obligatoire était toute la fortune du joueur ?[1] Dans le premier cas, on parlera d'aversion pour le risque et dans le second cas, plutôt pour le risque. Le comportement normal est une certaine aversion au risque[2].

Si les situations de risque forment, dans la vie courante, des situations assez marginales, l'incertitude est par contre omniprésente. Elle sert à désigner les situations dans lesquelles les distributions de probabilités n'existent pas ou ne sont pas connues des agents. C'est par exemple le cas d'une course de chevaux : sur quel cheval parier sachant qu'on ne connaît pas la probabilité qu'a chaque cheval de gagner ? La théorie de la décision est aussi capable d'apporter des réponses à ce type de situation.

Gain non quantifiable

D'autre part, dans de nombreux cas, les gains ne sont pas quantifiables (voir l'exemple du pari de Pascal, ou de l'assurance vie), difficilement mesurables (comme les catastrophes) ou difficilement identiques. Ici encore, la théorie de la décision cherche à apporter des réponses, à établir des prédilections.

La théorie de la décision dans le risque

Optimisation et maximalisation sont les deux mots-clés définissant les théories de la prise de décision basées sur la rationalisation, c'est-à-dire les théories définissant les normes logiques et rationnelles que l'ensemble des preneurs de décisions sont censés suivre pour que le choix soit celui qui "rapporte" le plus. La théorie de l'utilité espérée est l'approche la plus couramment retenue par la théorie de la décision pour décrire les choix risqués. Introduisons en premier lieu quelques notations :
L'incertitude est décrite par un ensemble d'états du monde \Omega=\left\{ \omega_{1},...,\omega_{n}\right\} partitionné par la famille de parties {\textstyle \mathcal{P}(\Omega)=2ˆ{n}}.
Un élément de {\textstyle \mathcal{P}(\Omega)} est nommé événement.
Une variable aléatoire f est une fonction qui associe à chaque ω un résultat noté x.
La totalité des résultats est noté X, X étant un sous-ensemble de {\textstyle \mathbb{R}}.
On écrit {\textstyle \mathcal{A}=\left\{ f:\Omega\rightarrow X\right\} } la totalité des variables aléatoires.
Dans le cas du risque, le décideur est supposé connaître les distributions de probabilités induites par les variables aléatoires. La distribution induite par la variable aléatoire f est notée lf. La relation binaire \succcurlyeq veut dire "est préféré ou indifférent à". Elle compare des loteries (ou distributions de probabilités), c'est-à-dire des projets risqués de la forme l = (x1, p1;... ;xn, pn) \forall i=1,...,n,x_i est le résultat obtenu avec la probabilité pi. On écrit \mathcal{L}=\left\{ l_{f}:X\rightarrow\left[0;1\right]\mid{\textstyle f\in\mathcal{A}},\sum_{i=1}ˆ{i=n}l_{f}(x_{i})=1\right\} la totalité des distributions de probabilités. La règle de décision développée par Von Neumann et morgenstern en 1944, connue sous le nom "d'utilité espérée", repose sur les hypothèses suivantes, qui sont nommées axiomes et sont postulées sur la relation \succcurlyeq.

Axiome 1 (préordre total). \succcurlyeq est un préordre total. Cela veut dire que :

Axiome 2 (Monotonie). \succcurlyeq est monotone si pour toutes loteries l et lˆ{\prime} dans {\textstyle \mathcal{L}} on a \forall s\in S,f(s)\geq g(s)\Rightarrow l_{f}\succcurlyeq l_{g}.


Axiome 3 (Continuité). \succcurlyeq est continue si pour toutes loteries lf, lg et lh telles que l_{f}\succ l_{g}\succ l_{h}, \exists \alpha,\beta\in\left]0;1\right[ tels que : {\textstyle \alpha l_{f}+(1-\alpha)l_{h}\succ l_{g}\succ\beta l_{f}+(1-\beta)l_{h}}.


Axiome 4 (Indépendance). \succcurlyeq est indépendante si pour tout α dans \left[0;1\right] et pour toutes loteries lf, lg et lh on a : l{}_{f}\succcurlyeq l_{g}\Longleftrightarrow\alpha l_{f}+(1-\alpha)l_{h}\succcurlyeq\alpha l_{g}+(1-\alpha)l_{h}


Nous pouvons désormais présenter le théorème de représentation de Von Neumann et Morgenstern :


Théorème. Etant donnée une relation de prédilections \succcurlyeq, les deux propositions suivantes sont équivalentes : (i) \succcurlyeq satisfait les axiomes 1-4; (ii) Il existe une fonction à valeurs réelles u:X\rightarrow\mathbb{R} positive à une transformation affine croissante près tel que la valeur d'une loterie l = (x1, p1;... ;xn, pn) est donnée par V(l)=EU(l)=\sum_{i=1}ˆ{n}u(x_{i})p_{i}) et \forall l,lˆ{\prime}\in\mathcal{L},l\succcurlyeq lˆ{\prime}\Longleftrightarrow EU(l)\geq EU(lˆ{\prime}).


La fonction {\textstyle V:\mathcal{L}\rightarrow\mathbb{R}} est par conséquent une fonction d'espérance d'utilité (EU).

Le contenu descriptif du modèle de décision EU a été rapidement critiqué dans une expérience restée cèlèbre sous le nom de "paradoxe d'Allais". La version présentée ici est celle de Kahneman et Tversky (1979). Les sujets doivent choisir entre deux paires de loteries. D'une part, entre l1 = (3000, 1) et l2 = (0, 0.2;4000, 0.8) et , d'autre part, entre l3 = (0, 0.75;3000, 0.25) et l4 = (0, 0.8;4000, 0.2) . Le choix généralement observé est l1 dans la première paire et l4 dans la seconde paire, en contradiction avec les prédictions de la fonction EU (. ). Plus particulièrement, c'est l'axiome d'indépendance qui est violé par les individus. Pour résoudre ce paradoxe, une réponse courante consiste à supposer que le traitement des probabilités n'est pas linéaire. Les individus "déforment" les probabilités suivant les résultats (par exemple, ils sous-estiment la probabilité d'obtenir 3000 dans la loterie l3). Essentiellement axiomatisé par Quiggin (1982), le modèle suivant, nommé "Rank-Dependent Expected Utility " (RDEU), repose essentiellement sur un affaiblissement de l'axiome d'indépendance. Ce dernier ne tient plus que sur les distributions de probabilités induites par les variables aléatoires ayant le même tableau de variation, c'est-à-dire qui sont couramment monotones, ou encore comonotones :

Axiome 4' (Indépendance comonotone). \succcurlyeq est indépendante pour les variables aléatoires comonotones si pour tout α dans \left[0;1\right] et pour toutes loteries lf, lg et lh telles que \forall s \in S, (f(s)-f(sˆ{\prime}))(g(s)-g(sˆ{\prime})) \geq 0, (g(s)-h(sˆ{\prime}))(g(s)-h(sˆ{\prime})) \geq 0 et (f(s)-h(sˆ{\prime}))(f(s)-h(sˆ{\prime})) \geq 0 on a : l{}_{f}\succcurlyeq l_{g}\Longleftrightarrow\alpha l_{f}+(1-\alpha)l_{h}\succcurlyeq\alpha l_{g}+(1-\alpha)l_{h}


Théorème. Etant donnée une relation de prédilections \succcurlyeq, les deux propositions suivantes sont équivalentes : (i) \succcurlyeq satisfait les axiomes 1-3 et l'axiome 4'; (ii) Il existe une fonction à valeurs réelles u:X\rightarrow\mathbb{R} positive à une transformation affine croissante près et une fonction à valeurs réelles croissante \phi:\left[0;1\right]\rightarrow\left[0;1\right] telle que la valeur d'une loterie l = (x1, p1;... ;xn, pn) est donnée par V(l)=RDEU(l)=\underset{S}{\int}u(f)d\phi(p)=\sum_{i=1}ˆ{n}(\phi(\sum_{j=i}ˆ{n}p_{j})-\phi(\sum_{j=i+1}ˆ{n}p_{j}))u(x_{i}) et \forall l,lˆ{\prime}\in\mathcal{L},l\succcurlyeq lˆ{\prime}\Longleftrightarrow RDEU(l)\geq RDEU(lˆ{\prime}).

La théorie de la décision dans l'incertain

L'utilité espérée a été élargie dès 1954 par L. J. Savage aux situations incertaines. Son axiomatisation comporte six axiomes quand la totalité Ω est fini. Un axiome "clé" est le suivant :

Axiome (Principe de la chose sûre). \succcurlyeq est telle que pour tout événement E et actes f,g,fˆ{\prime} et gˆ{\prime} tels que \forall s \in E, f(s)=fˆ{\prime}(s) et g(s)=gˆ{\prime}(s), et \forall s \in Eˆ{c}, f(s)=g(s) et fˆ{\prime}(s)=gˆ{\prime}(s), f\succcurlyeq g si et uniquement si fˆ{\prime}\succcurlyeq gˆ{\prime}.

En addition aux hypothèses "standards" (préordre complet, monotonie, continuité), cet axiome autorise la relation de prédilections d'être représentée par une fonction SEU (. ) tel que SEU : f \longmapsto SEU(f)=\int_S u(f)dP(s) où :

Bien que séduisant par sa simplicité et sa relative souplesse d'utilisation comparée à d'autres approches, le modèle de l'utilité espérée dans l'incertain a fait l'objet de plusieurs critiques expérimentales. La principale est liée au principe de la chose sûre, qui neutralise l'impact de l'ambiguïté sur les prédilections, comme le suggère l'exemple suivant, qui forme une variante du paradoxe d'Ellsberg (1961).

Exemple (Paradoxe d'Ellsberg). Un individu est face à une urne contenant 30 boules rouges, et 60 boules bleues ou vertes, sans information supplémentaire sur le nombre exact de boules vertes d'une part, de boules bleues d'autre part. La probabilité d'obtenir une boule rouge, notée P (R) , est par conséquent connue et égale à \frac{1}{3}, de même que celle d'obtenir une boule qui serait soit bleue, soit verte : P(B \cup V)=\frac{2}{3}. Cependant, il ne s'agit pas d'une situation de risque puisque la probabilité d'obtenir une boule bleue, P (B) , fluctue dans l'intervalle [0,\frac{2}{3}], tout comme celle d'obtenir une boule verte, P (V) . Nous parlons d'ambiguïté pour qualifier une telle situation, dans laquelle uniquement une partie de l'information est probabilisée. Supposons que l'individu doive effectuer un choix entre les actes suivants :

Dans le choix "a contre a'", on observe le plus souvent a \succcurlyeq a', alors que dans le choix "b contre b'", on observe b' \succcurlyeq b. L'aversion pour ambiguïté des individus explique ce type de choix. Le premier choix s'explique par le fait que l'individu connait la probabilité que la boule soit rouge, et le second par le fait qu'il connait la probabilité qu'elle soit bleue ou verte (mais pas celle qu'elle soit rouge ou verte). C'est une contradiction directe du principe de la chose sûre. Donc, de telles prédilections ne peuvent être décrites par le critère de l'utilité espérée. En effet, supposons que ce soit le cas. Nous avons par conséquent a \succcurlyeq a' si et uniquement si <img class= si et uniquement si P (B) + P (V) > P (R) + P (V) . Il s'agit clairement d'une contradiction, raison pour laquelle ce type d'expérience a été qualifié de paradoxe.

D'autres modèles, nommées "Non-Expected Utility" modèles, ou modèles non-additifs, ont par conséquent été axiomatisés dans l'incertain pour résoudre ce type de paradoxe.

Notes

  1. À l'inverse, le loto a de nombreux émules quoique son espérance de gain soit négative.
  2. Le goût du risque est reconnu comme une pathologie du joueur.

Voir aussi

Auteurs

Bibliographie

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