Théorème de König-Huyghens

En statistiques et en principe des probabilités, le théorème de König - Huygens est une identité remarquable reliant la variance et la moyenne.

Énoncé en probabilités

Le théorème de König-Huygens décrit de la façon suivante :

Théorème — Pour toute variable aléatoire réelle $X$ , on a :

$\operatorname{Var}(X)\equiv E\bigl[(X-E[X])ˆ2\bigr]=E[Xˆ2]-E[X]ˆ2$ .

La démonstration est assez simple et algébrique. Trois points sont à rappeler :

Le développement du binôme de Newton ;
La linéarité de l'espérance selon la variable aléatoire ;
L'espérance d'une constante vaut cette constante.

Ces trois propriétés rappelées impliquent :

$E\bigl[(X-E[X])ˆ2\bigr]=E[Xˆ2]-2E[X]E[X]+E[X]ˆ2$ .

Énoncé en statistiques

Ce théorème peut aussi s'appliquer pour une décomposition de la formule de la variance empirique :

Théorème — $\frac{1}{n} \sum_{i=1}ˆn \left( x_i - \overline{x}\right)ˆ2 = \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}ˆn x_iˆ2\right) - \overline{x}ˆ2$

Démonstration

$\begin{align} \frac{1}{n} \sum_{i=1}ˆn \left( x_i - \overline{x}\right)ˆ2 &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}ˆn \left( x_iˆ2 -2x_i\bar x +\overline{x}ˆ2\right)&\\ &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}ˆn x_iˆ2 -\frac{1}{n} \sum_{i=1}ˆn 2x_i\bar x +\frac{1}{n} \sum_{i=1}ˆn\bar{x}ˆ2\\ &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}ˆn x_iˆ2 -\frac{2\bar x}{n} \sum_{i=1}ˆn x_i +\frac{1}{n} n\bar{x}ˆ2\\ &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}ˆn x_iˆ2 -2\bar xˆ2 +\bar{x}ˆ2\\ &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}ˆn x_iˆ2 -\bar{x}ˆ2\\ \end{align}$

Généralisation

Cette formulation est un fait un cas spécifique d'une identité plus générale :

Identité — $\frac{1}{n}\sum_{i=1}ˆn(X_i-a)ˆ2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}ˆn(X_i -\bar X)ˆ2+(\bar X -a)ˆ2$

Démonstration

$\begin{align} \sum_{i=1}ˆn(X_i-a)ˆ2 &=\sum_{i=1}ˆn(X_i-\bar X+\bar X -a)ˆ2\\ &=\sum_{i=1}ˆn\left((X_i-\bar X)+(\bar X -a)\right)ˆ2\\ &=\sum_{i=1}ˆn\left[(X_i-\bar X)ˆ2+2(X_i-\bar X)(\bar X-a)+(\bar X -a)ˆ2\right]\\ &=\sum (X_i-\bar X)ˆ2 +2(\bar X-a)(\sum X_i-n\bar X)+n(\bar X -a)ˆ2\\ &=\sum (X_i-\bar X)ˆ2 +2(\bar X-a)(\sum X_i-n\frac{1}{n}\sum X_i)+n(\bar X -a)ˆ2\\ &=\sum_{i=1}ˆn(X_i -\bar X)ˆ2+n(\bar X -a)ˆ2 \end{align}$

NB : la démonstration est tirée de Mood et al. (2001, p. 229)

Remarque :

En passant le deuxième terme de droite à gauche et en prenant a=0 on retrouve la formule de la variance montrée plus haut :

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}ˆn(X_i -\bar X)ˆ2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}ˆn(X_i-a)ˆ2-(\bar X -a)ˆ2$

Et par conséquent si $a=0: \frac{1}{n}\sum_{i=1}ˆn(X_i -\bar X)ˆ2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}ˆn(X_i)ˆ2-(\bar X)ˆ2$

Relation avec la fonction de Leibniz

Ce théorème est un cas spécifique de simplification de la fonction scalaire de Leibniz concernant des barycentres.

En effet, la moyenne $m$ est le barycentre du dispositif pondéré ${ (x i, n i) } i = 1... k$ . La simplification de la fonction scalaire de Leibniz donne pour le dispositif ${ (A i, a i) i = 1... k}$ de barycentre $G$ :

$\sum_{i = 1}ˆk a_i AA_iˆ2 = \sum_{i = 1}ˆk a_i GA_iˆ2 +\left( \sum_{i = 1}ˆk a_i\right) GAˆ2$

En remplaçant $G$ par $m$ , $M$ par $m'$ , $a i$ par $n i$ et $A i$ par $x i$ , on obtient

$\sum_{i = 1}ˆk n_i (x_i - m')ˆ2 = \sum_{i = 1}ˆk n_i (x_i - m)ˆ2 + n (m' - m)ˆ2$

Ce qui est , à un facteur $n$ près ainsi qu'à l'ordre près, la formule précédente.

Énoncé en mécanique (Théorème d'Huygens)

Soit un dispositif de $k$ points matériels $A i$ , de masse respective $m i$ , de masse totale $M$ , de centre de masse $G$ et un point $A$ distant de $d$ du point $G$ . Le théorème de transport ou théorème de Huygens ou théorème de Steiner donne $J A$ le moment d'inertie du dispositif comparé à $A$ selon $J G$ le moment d'inertie du dispositif comparé à $G$ :

$J_A=J_G+M\cdot dˆ2$

avec

$J_A=\sum_{i = 1}ˆk m_i AA_iˆ2$

$J_G=\sum_{i = 1}ˆk m_i GA_iˆ2$

$M=\sum_{i = 1}ˆk m_i$

$d 2 = G A 2$

Références

(en) Alexander MacFarlane Mood, Introduction to the Theory of Statistics, Tata McGraw-Hill, New Delhi (ISBN 0070428646) , p. 564

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