Théorème de König-Huyghens
En statistiques et en principe des probabilités, le théorème de König - Huygens est une identité remarquable reliant la variance et la moyenne.
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En statistiques et en principe des probabilités, le théorème de König-Huygens est une identité remarquable reliant la variance et la moyenne.
Énoncé en probabilités
Le théorème de König-Huygens décrit de la façon suivante :
Théorème — Pour toute variable aléatoire réelle X, on a :
.
La démonstration est assez simple et algébrique. Trois points sont à rappeler :
- Le développement du binôme de Newton ;
- La linéarité de l'espérance selon la variable aléatoire ;
- L'espérance d'une constante vaut cette constante.
Ces trois propriétés rappelées impliquent :
.
Énoncé en statistiques
Ce théorème peut aussi s'appliquer pour une décomposition de la formule de la variance empirique :
Théorème —
Généralisation
Cette formulation est un fait un cas spécifique d'une identité plus générale :
Identité —
NB : la démonstration est tirée de Mood et al. (2001, p. 229)
En passant le deuxième terme de droite à gauche et en prenant a=0 on retrouve la formule de la variance montrée plus haut :
Et par conséquent si
Relation avec la fonction de Leibniz
Ce théorème est un cas spécifique de simplification de la fonction scalaire de Leibniz concernant des barycentres.
En effet, la moyenne m est le barycentre du dispositif pondéré { (xi, ni) }i = 1... k. La simplification de la fonction scalaire de Leibniz donne pour le dispositif { (Ai, ai) i = 1... k} de barycentre G :
En remplaçant G par m, M par m', ai par ni et Ai par xi, on obtient
Ce qui est , à un facteur n près ainsi qu'à l'ordre près, la formule précédente.
Énoncé en mécanique (Théorème d'Huygens)
Soit un dispositif de k points matériels Ai, de masse respective mi, de masse totale M, de centre de masse G et un point A distant de d du point G. Le théorème de transport ou théorème de Huygens ou théorème de Steiner donne JA le moment d'inertie du dispositif comparé à A selon JG le moment d'inertie du dispositif comparé à G :

avec
d2 = GA2
Références
- (en) Alexander MacFarlane Mood, Introduction to the Theory of Statistics, Tata McGraw-Hill, New Delhi (ISBN 0070428646) , p. 564
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