Théorème de Darmois

Soit une variable X dont le domaine de définition ne dépend pas de θ

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Soit une variable X dont le domaine de définition ne dépend pas de $θ$

Une condition indispensable et suffisante pour que l'échantillon $(X 1, ..., X n)$ admette une statistique exhaustive est que la forme de la densité soit :

$f(x,\theta) = \exp(a(x) \cdot \alpha(\theta) + b(x) + \beta(\theta))$ (famille exponentielle)

Si la densité est de cette forme et si de plus l'application $x_1 \to \sum_{i=1}ˆ{n}a(x_i)$ est bijective et continûment différentiable pour tout i,

alors $T = \sum_{i=1}ˆ{n}a(X_i)$ est une statistique exhaustive spécifique.

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