Température inverse

La température inverse, notée β et quelquefois dite bêta thermodynamique, est une grandeur physique utilisée en physique statistique.

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Physique statistique - Statistiques - Grandeur physique

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La température inverse, notée β et quelquefois dite bêta thermodynamique, est une grandeur physique utilisée en physique statistique. Elle reliée à la température T d'un dispositif par β = 1/ (kT), où k est la constante de Boltzmann. ^[1]^,^[2] Son unité est le J^-1.

Interprétation

Physique statistique

On considère un dispositif composé deux sous-systèmes, d'énergies E₁ et E₂. Le nombre de micro-états du dispositif peut s'écrire selon ceux des sous-systèmes :

$\Omega(E_1+E_2) = \Omega(E_1) \times \Omega(E_2)$ .

Cette relation est caractéristique de la fonction exponentielle et pousse à poser

$\Omega(E) \propto \exp -\beta E$ ,

où β est à relier à la température du dispositif quand il est à l'équilibre thermodynamique. ^[3] Une autre version de l'interprétation utilise le fait que Ω est maximum à l'équilibre thermodynamique, mais aussi la relation E = E₁+E₂ pour un dispositif isolé. Par conséquent,

$0 = \frac{\text{d}\Omega_1}{\text{d}E_1} \Omega_2 + \Omega_1\frac{\text{d}\Omega_2}{\text{d}E_1}$

ce qui, avec dE₁ = −dE₂, donne

$\frac 1\Omega_1 \frac{\text{d}\Omega_1}{\text{d}E_1} = \frac 1\Omega_2 \frac{\text{d}\Omega_2}{\text{d}E_2}$ .

Cela motive l'écriture d'un paramètre

$\beta = \frac{\text{d}\log \Omega}{\text{d}E}$

qui est relié à la température, car à l'équilibre β₁ = β₂.

Formulaire

*Principales relations entre la température inverse et les variables d'un dispositif.*
Contexte	Formule	Notations
Thermodynamique Théorie cinétique des gaz Physique statistique^[1]	$\beta = \frac 1{kT}$	T : température k : constante de Boltzmann
Ensemble microcanonique^[1]	$\beta = \frac{\text{d} \log \Omega}{\text{d}E}$	Ω : nombre de micro-états E : énergie du dispositif.
Ensemble canonique^[4]	$E = \frac{\text{d}\log Z}{\text{d}\beta}$	E : énergie Z : fonction de partition
Thermodynamique^[5]	$\beta = \frac 1k \left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,n}$	S : entropie U : énergie interne V : volume n : quantité de matière k : constante de Boltzmann

Sources

Bibliographie

Dietrich Stauffer, H. E. Stanley, Annick Lesne, Cours de Physique : De Newton à Mandelbrot, Springer, 1999 (ISBN 2287596747)

Références

(en) Eric W. Weisstein (dir. ), «Thermodynamic Beta» sur Science World
↑ (fr) Stauffer et al. (1999) , p. 164
↑ (fr) Stauffer et al. (1999) , p. 166 (l'argument original utilise la densité de probabilité)
↑ (en) Michæl Plischke, Birger Bergersen, Equilibrium Statistical Physics, World Scientific, 2005 (ISBN 9812560483) , p. 39
↑ (fr) Stauffer et al. (1999) , p. 173 (la formule originale utilise 1/T)

Annexes

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