Statistique d'ordre

En statistiques, la statistique d'ordre de rang k d'un échantillon statistique est égal à la k -ieme plus petite valeur.



Catégories :

Statistiques

Recherche sur Google Images :


Source image : fr.academic.ru
Cette image est un résultat de recherche de Google Image. Elle est peut-être réduite par rapport à l'originale et/ou protégée par des droits d'auteur.

Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • avec tables statistiques, la limite sα de la queue d'ordre α de la loi... qui via l'utilisation des statistiques d'ordre, sert à déterminer un... (source : phys.univ-tours)
  • Nous montrerons que la densité de probabilité de la statistique d'ordre de rang k, ... L'animation suivante illustre le concept de Statistique d'Ordre d'une... (source : aiaccess)
  • Pour assurer une bijection entre x et sa statistique d'ordre, il faut que l'ensemble des valeurs de x soient bien différentes; cette condition peut en fait être... (source : statisticien)
Distribution pour la statistique d'ordre 5 d'une distribution exponentielle avec θ = 3.

En statistiques, la statistique d'ordre de rang k d'un échantillon statistique est égal à la k-ieme plus petite valeur. Associée aux statistiques de rang, la statistique d'ordre fait partie des outils fondamentaux de la statistique non paramétrique et de l'inférence statistique.

Deux cas importants de la statistique d'ordre sont les statistiques du minimum et du maximum, et dans une moindre mesure la médiane de l'échantillon mais aussi les différents quantiles.

Lorsque on emploie la probabilité pour analyser les statistiques d'ordre d'un échantillon aléatoire issu d'une distribution continue, la fonction de distribution cumulative est employée pour ramener l'analyse au cas de la statistique d'ordre sur une distribution uniforme

Notation et exemples

Soit une expérience conduisant à l'observation d'un échantillon de 4 nombres, prenant les valeurs suivantes :

6, 9, 3, 8,

que on note selon la convention :

x_1=6;\ \ x_2=9;\ \ x_3=3;\ \ x_4=8\,

où le i en indice permet de identifier l'observation (par son ordre temporel, le numéro du système correspondant, etc. ), et n'est pas a priori corrélée avec la valeur de l'observation.

On note la statistique d'ordre :

x_{(1)}=3;\ \ x_{(2)}=6;\ \ x_{(3)}=8;\ \ x_{(4)}=9\,

où l'indice (i) dénote la i-ième statistique d'ordre de l'échantillon suivant la relation d'ordre habituelle sur les entiers naturels.

Par convention, la première statistique d'ordre, notée X (1) , est toujours le minimum de l'échantillon, c'est-à-dire :

X_{(1)}=\min\{\,X_1,\ldots,X_n\,\}

Suivant la convention habituelle, les lettres capitales renvoient à des variables aléatoires, et les lettres en bas de casse aux valeurs observées (réalisations) de ces variables.

De même, pour un échantillon de taille n, la statistique d'ordre n (c'est à dire, le maximum) est

X_{(n)}=\max\{\,X_1,\ldots,X_n\,\}.

Analyse probabiliste

Densité d'une statistique d'ordre

Étant donné une échantillon X=(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}), les statistiques d'ordres, notées X_{(1)}, X_{(2)}, \ldots, X_{(n)}, sont par conséquent obtenues par tri croissant.

Théorème — Si on suppose l'échantillon X indépendant et semblablement distribué selon une loi de densité f et de fonction de répartition F, alors la densité de la k-ème statistique d'ordre est


f_{X_{(k)}}(x) = {n! \over (k-1)!(n-k)!} F(x)ˆ{k-1} (1-F(x))ˆ{n-k} f(x).

En particulier


f_{X_{(n)}}(x) = n F(x)ˆ{n-1}\ f(x),

formule qu'on peut trouver directement, en dérivant le résultat du calcul ci-dessous :


\begin{align}
P\left(X_{(n)}\leq  x\right) & {} = F_{X_{(n)}}(x)  \\
&=P\left( \max(X_1,...,X_n) \leq x \right) \\
&=P\left(\text{chacun des}\ n\ X\ \mathrm{est}\ \leq x \right) \\
&=P\left( X_1 \leq  x\right)...P\left( X_n \leq x \right) \\
&=F\left(  x\right).\left( x\right) \\
&=F\left( x\right)ˆ{n}
\end{align}

Pour la loi uniforme continue, la densité de la k-ème statistique d'ordre est celle d'une Loi bêta, de paramètres k et n+1-k.

Densité jointe de l'ensemble des statistiques d'ordre

Théorème — Si on suppose l'échantillon X indépendant et semblablement distribué selon une loi de densité f, alors la densité jointe des n statistiques d'ordre est


f(x_{(1)},\dots,x_{(n)})\ =\ n!\ \left(\prod_{i=1}ˆ{n} f(x_{(i)})\right)\quad 1\!\!1_{x_{(1)}\le x_{(2)}\le\dots\le x_{(n-1)}\le x_{(n)}}.

Références

Recherche sur Amazone (livres) :



Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/Statistique_d%27ordre.
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 07/04/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.
Accueil Recherche Aller au contenuDébut page
ContactContact ImprimerImprimer liens d'évitement et raccourcis clavierAccessibilité
Aller au menu