Processus stochastique

Le calcul des probabilités classique concerne des épreuves où chaque résultat envisageable est un nombre, ce qui conduit à la notion de variable aléatoire.



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Processus stochastique - Physique statistique - Statistiques

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Le calcul des probabilités classique concerne des épreuves où chaque résultat envisageable (ou réalisation) est un nombre, ce qui conduit à la notion de variable aléatoire. Un processus stochastique ou processus aléatoire (voir Calcul stochastique) ou fonction aléatoire (voir Probabilité) représente une évolution, le plus souvent dans le temps, d'une variable aléatoire.

Mathématiquement

Définitions

Soit (\Omega , \mathcal F , P ) un espace de probabilité et \mathcal T un ensemble d'indices. On nomme processus aléatoire à valeur dans (A, \mathcal A) une variable aléatoire X=(\omega,\mathcal F,(X_t)_t,P) à valeurs dans la totalité des fonctions de \mathcal T dans (A, \mathcal A) pourvu de la tribu produit. \mathcal T est fréquemment un intervalle de \mathbb R ou \mathbb Z, et dans ce cas représente le plus souvent l'écoulement du temps.

On notera qu'en particulier, pour tout t \in \mathcal T , Xt = X (t) est une variable aléatoire à valeurs dans (A, \mathcal A).


Si ({\mathcal F}_t)_t\, est une filtration pour (\Omega , \mathcal F , P ), le processus X est dit adapté, si X_t\, est une variable aléatoire \mathcal{F}_t -mesurable à valeurs dans (A,\mathcal A).


Si T est un intervalle de \mathbb R, on dit que le processus X est progressif si pour tout t \in \mathcal T, l'application \mathcal T \cap ]-\infty, t] \times \Omega \rightarrow A\ : \ (t,\omega) \mapsto X_t(\omega) est mesurable pour la tribu produit \mathcal B (\mathbb \mathcal T \cap ]-\infty, t])\otimes {\mathcal F}_t, où \mathcal B (\mathbb \mathcal T \cap ]-\infty, t]) est la tribu borélienne sur cet ensemble.


La fonction \mathbb R \rightarrow A\ : \ t \mapsto X_t(\omega) est nommée la trajectoire associée à la réalisation \omega \,.

Espace des trajectoires

On nomme espace des trajectoires la totalité \Omega=\mathbb{R}ˆ{[0,+\infty[}. Pour \omega=(\omega_s)_{s\ge 0}\in\Omega, on peut alors poser, pour t > 0, Xt (ω) = ωt.

On est fréquemment amené, surtout dans l'étude des processus markoviens, à introduire la famille des opérateurs de translation (\thetaˆt)_{t\ge 0}. Pour \omega=(\omega_s)_{s\ge 0}, \thetaˆt\omega=(\omega_{s+t})_{s\ge 0}.

Les opérateurs (\thetaˆt)_{t\ge 0} forment un semi-groupe puisque \thetaˆ{s+t}=\thetaˆ{s}\circ\thetaˆt

On a Xstω) = Xs + t (ω) = ωs + t, surtout X0tω) = Xt (ω) = ωt.

Quasiment

Notion de processus

De nombreux domaines utilisent des observations selon le temps (ou, plus exceptionnellement, d'une variable d'espace). Dans les cas les plus simples, ces observations se traduisent par une courbe bien définie. Malheureusement, des sciences de la Terre aux sciences humaines, les observations se présentent fréquemment de manière plus ou moins erratique. Il est par conséquent tentant d'introduire des probabilités.

Un processus aléatoire généralise la notion de variable aléatoire utilisée en statistiques élémentaires. On le définit comme une famille de variables aléatoires X(t)\, qui associe une telle variable à chaque valeur t \in T\,. La totalité des observations disponibles x(t)\, forme une réalisation du processus.

Un premier problème concerne le fait que la durée sur laquelle est construit le processus est le plus souvent illimitée tandis qu'une réalisation porte sur une durée finie. Il est par conséquent impossible de représenter idéalement la réalité. Il y a une seconde difficulté bien plus sérieuse : à la différence du problème des variables aléatoires, l'unique information disponible sur un processus se réduit le plus souvent à une seule réalisation.

Types de processus

On peut distinguer le plus souvent les processus en temps discret et en temps continu, à valeurs discrètes ainsi qu'à valeurs continues.

Si la totalité T\, est dénombrable on parle de processus discret ou de série temporelle, si la totalité est indénombrable on parle de processus continu. La différence n'a rien d'essentiel : surtout la stationnarité, constance selon le temps des propriétés statistiques, se définit de la même façon. Il ne s'agit même pas d'une différence pratique car les calculs sur un processus continu s'effectuent à partir de l'échantillonnage d'une réalisation du processus. La différence porte plutôt sur l'attitude adoptée face à l'utilisation d'une seule réalisation.

Il existe une différence légèrement plus nette entre les processus à valeurs continues et les processus de comptage à valeurs discrètes. Les seconds remplacent par des sommes algébriques les intégrales utilisées par les premiers.

Exemples

En matière de processus à valeurs continues, les processus de Gauss sont spécifiquement utilisés pour les mêmes raisons que les variables de Gauss en statistiques élémentaires. Une application intuitive du théorème de la limite centrale conduit à penser que bon nombre de phénomènes, dus à des causes nombreuses, sont approximativement gaussiens. D'autre part, un tel processus présente l'avantage d'être entièrement défini par ses caractéristiques au second ordre, espérance et autocovariance.

La description d'un phénomène par des valeurs discrètes conduit à des processus de comptage dont le plus simple est le processus de Poisson utilisé dans la théorie des files d'attente

La notion de propriété markovienne définit une classe de processus discrets ou continus, à valeurs discrètes ou continues, qui repose sur l'hypothèse selon laquelle l'avenir ne dépend que de l'instant présent.

Voir aussi

Liens externes

Livres

Comets, F. & Meyre, T : "Calcul stochastique et modèles de diffusions", Dunod (2006). ISBN : 9782100501359


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