Plan d'expérience

L'expérimentation est un moyen permettant d'acquérir de nouvelles connaissances avec un système sur lequel l'expérimentateur est capable de contrôler certains paramètres de fonctionnement, de manière à permettre de recueillir des réponses modélisables...



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Chimie analytique - Statistiques - Domaine scientifique

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  • La notion de plan d'expérience est ancienne mais l'utilisation systématique de protocoles...... des quatre facteurs A, B, C affectés à chaque expérience.... (source : educnet.education)
  • De plus, on suppose qu'il n'ya pas de facteur incontrôlable qui intervienne au... DOMAINES ET LIMITATIONS L'objectif d'un plan d'expérience est d'apporter les ... (source : books.google)

L'expérimentation est un moyen permettant d'acquérir de nouvelles connaissances avec un système sur lequel l'expérimentateur est capable de contrôler certains paramètres de fonctionnement (en entrée), de manière à permettre de recueillir (en sortie) des réponses modélisables de façon suffisamment précise et avec une bonne économie (un nombre d'essais le plus faible envisageable par exemple). La différence comparé à l'observation de dispositifs naturels, spontanés ou fortuits, réside dans le contrôle des paramètres qu'elle réalise en fixant par exemple la valeur des principaux paramètres d'entrée (ou facteurs) au cours de chaque essai élémentaire, dans le choix de certaines combinaisons des valeurs de ces paramètres réalisées sur chacun des essais nécessaires à la détermination d'un modèle. Les dispositifs naturels présentent le plus souvent une structure de données qui ne permet pas d'en déduire un modèle fiable, même si les observations sont particulièrement nombreuses, et malgré l'utilisation de techniques d'analyse de données particulièrement très élaborées. Dans ce cas les facteurs sont fréquemment nombreux (complexité du réel), embrouillés (mauvaise structure de données), les réponses sont fréquemment brouillées par ce qu'on peut appeler des bruits de fond. Cette difficulté de lisibilité de la nature explique en partie pourquoi le progrès des connaissances a été particulièrement lent. L'expérimentation comme moyen de connaissance n'est pas si ancienne et elle est restée longtemps particulièrement fragmentaire ; le concept n'a pu se développer qu'une fois qu'on a su construire des dispositifs contrôlables (grâce aux progrès de la mécanique) et faire des mesures aisément, surtout la mesure du temps qui a permis de franchir des étapes décisives.

On appelle plan d'expérience la suite ordonnée des essais élémentaires d'une expérimentation. Ce plan s'intègre dans une méthode qui va de la recherche des connaissances sur le domaine où elle se déroule, à la définition particulièrement précise des objectifs, à la stratégie expérimentale qui définit un déroulement pouvant être conditionné par les résultats obtenus en cours de route (expérimentation séquentielle), en passant par la coordination des différents intervenants. Cette méthode est indispensable chaque fois que les essais présentent une certaine complexité, sous peine d'échec (données inexploitables), de surcoût économique (délais de réponse), de coûts humains, de souffrance animale par exemple. Un exemple particulièrement classique de plan est constitué par un «plan en étoile» où en partant d'une valeur choisie pour chacun des paramètres dans une expérience centrale, on complète celle-ci par des expériences où chaque fois un seul des facteurs fluctue «toutes choses identiques d'autre part». L'expérience de l'expérience montre que ce système est le plus souvent particulièrement mauvais, au contraire de ce que peut suggérer l'intuition. Un autre type de plan qui en prend le contrepied est un «plan factoriel» consistant à choisir des valeurs pour chacun des facteurs de manière à pouvoir expérimenter l'ensemble des combinaisons entre l'ensemble des niveaux de l'ensemble des facteurs (quand cela est envisageable). Dans ce système le nombre d'essais peut devenir particulièrement grand (explosion combinatoire), mais il est envisageable d'obtenir un modèle particulièrement exhaustif (comprenant l'ensemble des interactions envisageables entre facteurs), ce qui n'est le plus souvent pas indispensable. L'objectif de l'article est de donner au lecteur des exemples qui illustrent l'importance de la notion de plan d'expériences et d'exposer des cas qui sont à la fois les plus simples conceptuellement et qui sont utilisés généralement.

Position du problème

Supposons que nous désirions savoir si la proportion de boules noires d'une urne est supérieure à 5%, l'urne contenant 1000 boules. Nous partons avec l'idée d'en tirer 100 dans l'espoir d'avoir une bonne approximation de la proportion.

Un plan d'expérience permet par conséquent de diminuer le nombre d'essais à ce qui est strictement indispensable pour prendre une décision, ce qui peut sauver du temps, de l'argent et des vies.

C'est un plan d'expérience de ce type qui a permis d'arrêter en cours de route une expérience visant à déterminer si l'aspirine avait un effet de prévention sur les crises cardiaques, les résultats établissant sans ambiguïté que c'était le cas (réduction de 25% des risques). Continuer l'expérimentation serait revenu dans ces conditions à priver jusqu'à la date originellement prévue les malades du lot-témoin d'accès à l'aspirine, ce qui aurait pu coûter la vie à certains d'entre eux.

Voir aussi l'article Inférence bayésienne et le problème dit du bandit manchot.

Plans d'expérience en sciences appliquées (plans expérimentaux)

Il existe de nombreux processus qu'on sait dépendre de la plupart de paramètres externes (on parle de facteurs) mais sans qu'on en ait des modèles analytiques.

Quand on est intéressé de connaître la dépendance d'une variable de sortie F d'un tel processus, on se trouve confronté à plusieurs difficultés :

La méthode du plan d'expérience répond à ces questions et peut ainsi être appliquée dans de nombreux processus qui vont par exemple des essais cliniques à l'évaluation de la qualité des processus industriels les plus complexes.

On peut ainsi pour l'industrie poser cette nouvelle définition : Un plan d'expériences est une suite d'essais rigoureusement organisés, pour déterminer avec un minimum d'essais et un maximum de précision, l'influence respectives des différents paramètres de conception ou de fabrication d'un produit, afin d'en optimiser les performances.

En sciences humaines

Les symboles utilisés

Plan monofactoriel

On peut avoir deux types de plan monofactoriel :

Méthode 1 Méthode 2
Type de plan Emboîté Croisé
Type de groupe Groupes indépendants Groupes appareillés
Formule S102> S10*M2
Nombre de données 20 données pour 20 sujets
 10 sujets pour M1 et 10 pour M2
20 données pour 10 sujets
 les 10 sujets passent M1 et M2
Problème Il est complexe d'avoir 2 groupes réellement équivalents Il y a des interférences d'une activité à l'autre

Plan multifactoriel

On aura ici, au moins 2 VI à tester en même temps. On peut avoir trois types de plan multifactoriel :

Méthode 1 Méthode 2 Méthode 3
Type de plan Emboîté complet Croisé complet Mixte ou quasi complet
Type de groupe Un Groupe de sujets par groupe expérimental Chaque sujet rencontre l'ensemble des conditions expérimentales On a deux groupes emboîtés, qui passe chacun l'ensemble des conditions
Formule S102*R3> S10*M2*R3 S102>*R3
Nombre de données 60 données pour 60 sujets 60 données pour 10 sujets 60 données pour 20 sujets
Problème Il est complexe d'avoir des groupes réellement équivalents + Besoin largement de sujets Peut être fatiguant pour les sujets + Il va y avoir un effet d'une condition à l'autre .

Limites des plans expérimentaux exhaustifs

Supposons qu'on soit en présence d'un processus qui dépende de 3 facteurs A, B et C qui ont chacun leur domaine de définition (discret) {ai | i = 1, .., l}, {bj | j = 1, ..., m}, {ck | k = 1, ..., n}.

Une approche systématique consisterait à effectuer l'ensemble des expériences envisageables du processus en faisant fluctuer chacun des paramètres dans son domaine de définition :

Expérience 1 : {a1, b1, c1} \Longrightarrow Résultat F1

Expérience 2 :{a2, b1, c1} \Longrightarrow Résultat F2

Expérience 3 :{a3, b1, c1} \Longrightarrow Résultat F3

\vdots

Expérience l\cdotm\cdotn :{al, bm, cn} \Longrightarrow Résultat F_{l\cdot m\cdot n}

Le nombre d'expériences nécessaires, qui est égal au produit l\cdotm\cdotn, peut être particulièrement énorme et hors de portée pour des raisons de coût et/ou de temps.

Exemple

Supposons qu'on souhaite caractériser un processus électrolytique par la mesure du courant entre les électrodes.

Pour une solution d'électrolyte donnée, un modèle grossier laisse supposer que ce courant va dépendre de trois facteurs principaux : (1) la dilution de la solution C, comprise entre 10% et 90%, (2) la température de la solution T, comprise entre 50°C et 100°C, et (3) la nature des électrodes utilisées (étain, or et en platine). Dans ces conditions, en prenant des pas de 10% pour la concentration et de 10°C pour la température, le plan expérimental exhaustif sera constitué de 6x8x3, soit 144 expériences indépendantes qu'il faudra faire dans des conditions d'autre part semblables.

En supposant que chaque expérience prend 1 heure (en comptant le temps de préparation), l'étude de ce simple processus ne demanderait pas moins de 4 semaines de travail à plein temps. Qui plus est , des expériences étalées sur un aussi grand laps de temps pourrait faire intervenir des facteurs non-connus mais variant sur la durée de cette étude et pouvant fausser les résultats.

On comprend facilement que les points relevés ci-dessus deviennent dramatiques dès qu'on a affaire à des processus légèrement plus complexes et le coût expérimental d'une étude exhaustive devient vite prohibitif, voir inapplicable. C'est un problème courant dans les processus industriels qui exigent une reproductibilité et un contrôle qualité total.

La manière correcte en premier lieuer un plan d'expérience optimal est de procéder d'une manière particulièrement analogue au principe de la droite de régression en supposant qu'on a des dépendances linéaires (ou tout au plus quadratiques) du processus dans chacune de ces variables mais aussi des interactions entre les variables. On se basera le plus fréquemment sur des hypothèses simples et/ou des expériences limites pour se donner une idée de l'existence ou non de dépendances croisées.

Reprenons le processus décrit plus haut en supposant que en plus de T et C, on définisse m comme une grandeur physique qui caractérise la matière de l'électrode (par exemple son poids moléculaire ou son électrovalence, etc. )  :

On souhaite le décrire par une formule simplifiée du type :

F (T, C, m) =

b1\cdotT2 + b2\cdotC2 + b3\cdotm2 + b4\cdotT + b5\cdotC + b6\cdotm + b7\cdotT\cdotC + b8\cdotT\cdotm + b9\cdotC\cdotm + b10\cdotT\cdotC\cdotm + b11\cdotT2\cdotC + b12\cdotT2\cdotm + b13\cdotC2\cdotT + b14\cdotC2\cdotm + b15\cdotT\cdotm2 + b16\cdotC\cdotm2

Pour simplifier, on supposera raisonnablement que les termes en T2\cdotC, T2\cdotm, C2\cdotT, C2\cdotm, T\cdotm2 et C\cdotm2 sont négligeables comparé aux termes du premier ordre, ce qui revient à dire que les cœfficients b11, b12, b13, b14, b15 et b16 sont nuls (en général, le terme en T\cdotC\cdotm est aussi négligeables).

Il reste alors 10 variables b1, .., b10 à déterminer pour avoir une connaissance analytique du processus dans les intervalles spécifiés.

On «choisit» 10 points dans l'espace (T, C, m), pour lesquels on effectue l'expérience, obtenant ainsi les valeurs de {Fi} pour chacun de ces points. On veillera bien entendu à ce que l'ensemble des autres paramètres de l'expérience restent constants.

NB : on travaille plutôt avec des variables réduites, c'est-à-dire des variables T, C et m qui sont sans dimensions et normalisées à 1 sur leur intervalle de définition

Il en résulte le dispositif de 10 équations à 10 inconnues :

Fi = ai1\cdotb1 + ai2\cdotb2 + ai3\cdot b3 + ai4\cdotb4 + ai5\cdotb5 + ai6\cdotb6 + ai7\cdotb7 + ai8\cdotb8 + ai9\cdotb9 + ai10\cdotb10

avec i = 1, .., 10.

Les aij sont obtenus simplement en remplaçant T, C et m par leur valeurs aux points où on a fait les expériences.

En écriture matricielle :

\begin{bmatrix} F_1 \\ \vdots \\ F_{10} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,10} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{10,1} & \cdots & a_{10,10} \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_{10}\end{bmatrix}

Pour résoudre ce dispositif, il faut inverser la matrice \begin{bmatrix} a_{ij}\end{bmatrix} :

\begin{bmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_{10} \end{bmatrix} = {\begin{bmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,10} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{10,1} & \cdots & a_{10,10} \end{bmatrix}}ˆ{-1}\cdot\begin{bmatrix} F_1 \\ \vdots \\ F_{10}\end{bmatrix}

La théorie des plans expérimentaux autorise partir de modèles spécifiques plus ou moins complexes de déterminer exactement en quels points les mesures doivent être faites.

Les plans factoriels

Parmi les différents plans expérimentaux, les plans factoriels sont courants car ils sont les plus simples à mettre en œuvre et ils permettent de mettre en évidence particulièrement rapidement l'existence d'interactions entre les facteurs.

L'hypothèse de base est d'assigner à chaque facteur (normalisé) sa valeur la plus basse (− 1) et sa valeur la plus haute (+ 1). Ainsi, pour k facteurs, on se retrouve avec un ensemble de 2k valeurs envisageables.

Sans entrer dans les détails, la matrice d'expérience \begin{bmatrix} a_{ij}\end{bmatrix} possède alors des propriétés intéressantes (on a par exemple : aT\cdot a = k\cdot1) qui sont beaucoup exploitées par les logiciels qui établissent des plans expérimentaux. Surtout, l'ajout d'expériences supplémentaires mais aussi des algorithmes de randomisation efficace du plan d'expérience d'origine permettent de mettre en évidence des biais systématiques et de les supprimer ou alors de mettre en évidence l'influence d'une variable cachée dont il faut tenir compte.

Pour reprendre l'exemple ci-dessus, on se retrouve avec un plan à 12 expériences (2 températures extrêmes, 2 concentrations extrêmes et 3 paires d'électrodes).

Travaillons avec la température et la concentration normalisée :

t = \frac {T-75} {25}

c = \frac {C-50} {40}

On cherche désormais seulement des dépendances linéaires en t et en c, c'est-à-dire une relation du type :

IX (t, c) = b1t+ b2c+ b3tc pour X=1, 2 ou 3 selon le type d'électrode.

En effectuant les mesures du courant aux 4 points (50°C, 10%), (50°C, 90%), (100°C, 10%), (100°C, 90%) correspondant aux points (− 1, − 1), (− 1, + 1), (+ 1, − 1) et (+ 1, + 1) dans l'espace des facteurs réduits, on a, pour chaque type d'électrode, on est ramené à un plan factoriel 22

\begin{bmatrix} I_1 \\ I_2 \\ I_3 \\ I_4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1  & -1 & +1 \\ -1 & +1 & -1 \\ +1 & -1 & -1 \\ +1 & +1 & +1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{bmatrix}

On vérifie effectivement que aT\cdot a = k\cdot1, et on obtient la résolution du dispositif :

\Longrightarrow \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3\end{bmatrix} = \frac {1} {4} \begin{bmatrix} -1  & -1 & +1 & +1 \\ -1 & +1 & -1 & +1 \\ +1 & -1 & -1 & +1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} I_1 \\ I_2 \\ I_3 \\ I_4 \end{bmatrix}

Soit :

b1 = \frac {1} {4} (-I1 - I2 + I3 + I4)

b2 = \frac {1} {4} (-I1 + I2 - I3 + I4)

b3 = \frac {1} {4} (I1 - I2 - I3 + I4)

Ainsi, moyennant quelques précautions, on a ramené une étude d'un processus non analytique constitué de 144 expériences différentes à un processus d'une douzaine d'expériences, qui donne des résultats intéressants sur les intervalles reconnus, surtout sur l'existence et l'amplitude des interactions entre les différents facteurs.

Voir aussi

Bibliographie

Liens

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