Particules indiscernables

Les particules indiscernables ou particules semblables sont des particules qui ne peuvent être différenciées l'une de l'autre, même habituellement.

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Particule - Physique statistique - Statistiques

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Pour deux particules indiscernables dans deux cases de la boîte il y a trois... En appliquant la formule des arrangements de n = 2 particules dans g = 3... (source : fr.wikiversity)

Les particules indiscernables ou particules semblables sont des particules qui ne peuvent être différenciées l'une de l'autre, même habituellement. Ce concept prend tout son sens en mécanique quantique, où les particules n'ont pas de trajectoire bien définie qui permettrait de les distinguer l'une de l'autre. Les particules indiscernables peuvent être soit des particules élémentaires telles que l'électron ou le photon, ou alors des particules composites - atome, proton - ayant le même état interne.

Le théorème spin-statistique sert à classer les particules en deux grandes familles : les bosons, de spin entier, et les fermions, de spin demi-entier. Lors de l'échange de deux particules semblables, l'état quantique global d'un ensemble de bosons indiscernables n'est pas modifié tandis que l'état d'un ensemble de fermions est changé en son opposé. En conséquence, deux fermions semblables (par exemple deux électrons) ne peuvent se trouver dans le même état, ce qui est connu comme le principe de Pauli.

Le fait que des particules puissent être semblables a d'importantes conséquences en physique statistique, surtout pour comprendre les propriétés macroscopiques des matériaux. A titre d'exemple, le comportement métallique ou semi-conducteur d'un cristal, ou encore le ferromagnétisme proviennent du fait que les électrons sont des fermions, tandis que la superfluidité de l'hélium 4 s'explique par la nature bosonique de cet atome.

Distinction entre particules

Il existe deux manières de distinguer les particules. La première se base sur les différences entre les propriétés physiques intrinsèques des particules telles que la masse, la charge électrique, le spin, etc... Si une telle différence existe, on peut aisément distinguer les particules : il suffit de mesurer la grandeur physique appropriée. Cependant, c'est un fait expérimental que des particules subatomiques de la même espèce ont des propriétés physiques strictement identiques. A titre d'exemple, deux électrons quelconques ont précisément la même masse, ce qui sert à parler de "la masse de l'électron", sans faire référence à un électron surtout.

Chemins suivis par deux particules indiscernables.

Même si deux particules ont des propriétés physiques strictement semblables, il existe un autre moyen de les distinguer, qui est de les suivre le long de leur trajectoire. Par exemple dans le cas d'une collision entre deux électrons, on place par la pensée une étiquette sur chacun des électrons, ce qui permet de les distinguer ensuite lors de leur interaction.

Tandis que cette approche pourrait marcher si les électrons étaient des particules classiques, on ne peut en réalité définir une trajectoire avec une précision absolue pour des particules quantiques : l'état des particules est gouverné par leur fonction d'onde, et quand les fonctions d'onde des deux particules se recouvrent, il est impossible de dire quel chemin chacune a suivi. Aucune mesure ne permet alors de relier une particule après l'interaction à une particule avant l'interaction. C'est pourquoi on parle de particules indiscernables.

Dégénérescence d'échange

Pour préciser les problèmes liés à l'indiscernabilité des particules, supposons donné un ensemble complet d'observables qui commutent (ECOC) pour une particule et notons $\{|u_1\rangle, |u_2\rangle, \ldots \}$ la base de $\mathcal H$ constituée des vecteurs propres communs à l'ensemble des observables de cet ECOC. Si le dispositif se compose d'une seule particule, et qu'on mesure l'ensemble des observables de l'ECOC, selon les postulats de la mécanique quantique, on va projeter l'état du dispositif sur l'un des vecteurs $|u_p\rangle$ de $\mathcal H$ , de sorte que l'état du dispositif après la mesure sera totalement connu. Supposons à présent que le dispositif soit composé de deux particules et qu'on effectue une mesure complète de chacune des particules. Le résultat qu'on obtient sera : une particule est dans l'état $|u_p\rangle$ et l'autre est dans l'état $|u_{p'}\rangle$ , mais puisqu'on ne peut pas identifier les particules, on ne sait pas laquelle est dans $|u_p\rangle$ et laquelle est dans $|u_{p'}\rangle$ . En conséquence, si $p \neq p'$ , le vecteur mathématique de $\mathcal H \otimes \mathcal H$ décrivant l'état du dispositif est indéterminé. Ce peut être :

$|u_p\rangle \otimes |u_{p'}\rangle$ ,
$|u_{p'}\rangle \otimes |u_p\rangle$ , en échangeant le rôle des particules comparé à ci-dessus,
ou n'importe quel vecteur de l'espace $\mathcal E_{p,p'}$ génèré par ces deux vecteurs.

Ainsi, une mesure complète sur chacune des particules ne peut suffire à caractériser totalement l'état du dispositif, ce phénomène étant dénommé dégénérescence d'échange.

État complètement symétrique et complètement antisymétrique

Pour lever la dégénérescence d'échange, on construit deux opérateurs $\hat S$ et $\hat A$ qui projettent l'espace $\mathcal E_{p,p'}$ sur un ket unique soit totalement symétrique lors de l'échange de deux particules (dans le cas de $\hat S$ ), soit totalement antisymétrique (dans le cas de $\hat A$ ). On postule ensuite que le vecteur représentant correctement l'état du dispositif est ce ket unique. Les particules ayant un vecteur d'état totalement symétrique sont les bosons, alors que celles ayant un vecteur d'état totalement antisymétrique sont les fermions.

Des travaux récents de physique théorique ont découverts d'autres moyens de résoudre ce problème qui amènent à des comportements différents, tels que les anyons ou les plektons en principe des cordes. Cependant, l'ensemble des particules élémentaires décrites par le modèle standard sont soit des bosons quand leur spin est entier, soit des fermions quand leur spin est demi-entier.

Opérateur de permutation

Définition

Pour construire explicitement les opérateurs de projection $\hat S$ et $\hat A$ décrits ci-dessus, on introduit l'opérateur $\hat P_{ij}$ qui sert à permuter deux particules dans un dispositif de $n$ particules. En d'autres termes, si

$|\psiˆ{(1)}, \psiˆ{(2)}, \ldots, \psiˆ{(N)}\rangle = |\psiˆ{(1)}\rangle |\psiˆ{(2)}\rangle \ldots |\psiˆ{(N)}\rangle$

permet de désigner un état factorisable quelconque de l'espace à $n$ particules : $\mathfrak H = \mathcal H \otimes \ldots\otimes \mathcal H$ , l'opérateur $\hat P_{ij}$ échange l'état de la particule i avec celui de la particule j :

$\hat P_{ij} |\psiˆ{(1)}, \psiˆ{(2)}, \ldots, \psiˆ{(i)}, \ldots, \psiˆ{(j)}, \ldots, \psiˆ{(N)} \rang = |\psiˆ{(1)}, \psiˆ{(2)}, \ldots, \psiˆ{(j)}, \ldots, \psiˆ{(i)}, \ldots, \psiˆ{(N)} \rang.$

Dans cette définition, nous avons supposé que l'état à $n$ particules était factorisable, ce qui sert à définir l'opérateur $\hat P_{ij}$ sur une base de $\mathfrak H$ . Dans un deuxième temps, on étend par linéarité la définition à l'ensemble des états de cet espace, y compris les états intriqués.

Propriétés

D'après la définition, on a clairement :

$\hat P_{ij}ˆ2 = 1$

On peut aussi montrer que l'opérateur $\hat P$ est hermitien et unitaire, soit :

$\hat P_{ij} = \hat P_{ij}ˆ{\dagger}$

$\hat P_{ij} \hat P_{ij}ˆ{\dagger} = \hat P_{ij}ˆ{\dagger}\hat P_{ij}$

Il possède deux valeurs propres : +1 et -1, auxquelles correspondent deux espaces propres respectivement symétrique et antisymétrique :

$\mathcal S = \{|\phi_S \rangle \quad\text{t.q.}\; \hat P_{ij}| \phi_S \rangle = + | \phi_S \rangle\}$

$\mathcal A = \{|\phi_A \rangle \quad\text{t.q.}\; \hat P_{ij}| \phi_A \rangle = - | \phi_A \rangle\}.$

Lien avec les opérateurs de symétrie et d'antisymétrie

On définit les opérateurs de symétrie $\hat S$ et d'antisymétrie $\hat A$ comme :

$\hat S_{ij} = \frac{1}{2} \big(1+ \hat P_{ij} \big)$

$\hat A_{ij} = \frac{1}{2} (1- \hat P_{ij} )$

Ces opérateurs sont alors des projecteurs sur les espaces $\mathcal S$ et $\mathcal A$ respectivement.

Base d'un dispositif de N particules

On cherche à construire le ket d'un dispositif de N particules indiscernables, qui doit être complètement symétrique ou bien antisymétrique. Cela est équivalent à faire une restriction de l'espace vectoriel $\mathfrak H$ constitué par le produit tensoriel des espaces correspondant à chaque particule.

Dans les deux cas, le ket de la fonction d'onde doit être la somme de produit de la forme :

$|\phiˆp \rangle = |u_{p_1} \rangle |u_{p_2} \rangle \ldots |u_{p_i} \rangle \ldots |u_{p_j} \rangle \ldots |u_{p_n} \rangle =$ $|u_{p_1}, u_{p_2},\ldots, u_{p_i}, \ldots, u_{p_j}, \ldots, u_{p_n} \rangle ,$

avec l'ensemble des permutations envisageables des indices $p 1$ … $p n$ .

Boson

Pour les bosons, l'état complètement symétrique ne peut être constitué qu'à partir d'une combinaison linéaire de l'ensemble des états symétriques $| \phi_p \rangle$ . On obtient alors le ket suivant :

$|\phi_S \rangle = C_S \sum_p |\phiˆp \rangle,$

où $C_S = \sqrt {\frac{N_1! N_2! \cdots }{N!} }$ est la constante de normalisation, calculé à partir de $\langle \phi_S | \phi_S \rangle$ . $N i$ est le nombre de particules dans le même états. On a bien évidemment

∑	N_i = N
i

Fermion

Pour les bosons, l'état complètement antisymétrique ne peut être constitué qu'à partir d'une combinaison linéaire de l'ensemble des états $| \phiˆp \rangle$ . On obtient alors le ket suivant :

$|\phi_A \rangle = C_A \sum_p \operatorname{sgn}(p) |\phiˆp \rang,$

où $C_A = \sqrt {\frac{1}{N!} }$ est la constante de normalisation, calculé à partir de $\lang \phi_A | \phi_A \rang$ . Ici le terme

∏	N_i!
i

n'intervient plus car $N i = 0, 1$ suivant que l'état soit occupé ou non. $\operatorname{sgn}(p)$ est la signature de chaque permutation (c'est-à-dire $\pm 1$ ).

Exemple d'un dispositif de deux particules

On considère un dispositif constitué de particules occupant les états $|u_1 \rangle$ et $|u_2 \rangle$ avec $|u_1 \rangle \neq |u_2 \rangle$ . L'état symétrique doit avoir la forme :

$|u_1, u_2; S\rang =\sqrt{\frac{1}{2}} \bigg( |u_1 \rang |u_2\rang + |u_2\rang |u_1\rang \bigg) .$

Ce ket représente par conséquent l'état du dispositif quand les deux particules sont des bosons.

L'état antisymétrique correspondant à des particules fermioniques est

$|u_1, u_2; A\rang = \sqrt{\frac{1}{2}} \bigg( |u_1 \rang |u_2\rang - |u_2\rang |u_1\rang \bigg) .$

Notes et références de l'article

Chapitre XIV sur les particules semblables du livre de C. Cohen-Tannoudji, B. Diu et F. Laloë, Mécanique quantique [détail des éditions]
Chapitre 9 du livre de Lev Landau et Evguéni Lifchitz, Physique théorique, tome 3 : Mécanique quantique, éd. MIR, Moscou [détail des éditions]
Chapitre 6 du livre de J. J. Sakurai et s. F. Tuan, Modern Quantum Mechanics, Benjamin-Cummings 1985, Reading, Addison-Wesley 2003

Voir aussi

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