Paradoxe de Gibbs

Le paradoxe de Gibbs est un pseudo-paradoxe en thermodynamique et physique statistique. Il intervient lors du calcul de l'entropie de mélange de deux gaz parfaits.



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Page(s) en rapport avec ce sujet :

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  • Définitions de paradoxe de gibbs, synonymes, antonymes, dérivés de paradoxe de gibbs, dictionnaire analogique de paradoxe de gibbs (français) (source : dictionnaire.sensagent)

Le paradoxe de Gibbs est un pseudo-paradoxe en thermodynamique et physique statistique. Il intervient lors du calcul de l'entropie de mélange de deux gaz parfaits. Il a été appelé selon le physicien Willard Gibbs, pour sa découverte en 1861.

Introduction

On suppose qu'on a une boîte divisée en deux parties par un mur mobile. Dans une partie se trouve le gaz parfait "A", et dans l'autre le gaz parfait "B", qui sont à la même température et même pression. On s'intéresse à l'évolution de l'entropie quand on retire la séparation, c'est-à-dire quand les deux gaz se mélangent. Selon que les gaz sont semblables ou pas, on s'attend à obtenir deux résultats différents :

On peut résoudre ce paradoxe en considérant que les particules d'un même gaz sont indiscernables, ce qui a son importance dans le calcul de l'entropie.

Calcul de l'entropie

On peut calculer l'entropie d'un gaz parfait de la manière suivante [1] :

S(T,V,N) = Nk \big[\ln(V)+\frac{3}{2}\ln(T) \big] + N s

s est une constante dépendante du type de gaz.


Gaz différents

\begin{cases} V_1, p, T, N_1 \\V_2, p, T, N_2 \end{cases}  \longrightarrow \begin{cases} V, p, T, N_1 \\V, p, T, N_2 \end{cases}

V = V1 + V2 et en considérant les pressions partielles p_i = X_i \cdot pˆ{0}∼.

L'entropie du dispositif est la somme des entropies des deux gaz :

Si (T, V, N) = S1i (T, V, N) + S2i (T, V, N)

Avant :

S_i(T,V,N) = \Big( N_1 k \big[\ln(V_1)+\frac{3}{2}\ln(T) \big] + N_1 s_1 \Big) +  \Big( N_2 k \big[\ln(V_2)+\frac{3}{2}\ln(T) \big] + N_2 s_2 \Big)

Après :

 S_f(T,V,N) = \Big( N_1 k \big[\ln(V)+\frac{3}{2}\ln(T) \big] + N_1 s_1 \Big) +  \Big( N_2 k \big[\ln(V)+\frac{3}{2}\ln(T) \big] + N_2 s_2 \Big)

On obtient alors la variation d'entropie suivante :

<img class=Gaz semblables

On trouve la variation d'entropie :

<img class=ΔS = 0.

Explication

Le problème se trouve dans le mauvais décompte des états microscopiques Ω d'un gaz. En effet, on considère l'ensemble microcanonique, et il faut apporter une correction à Ω, dû à l'indiscernabilité des particules du gaz.

 \Omega \rightarrow \tilde \Omega = \frac{\Omega}{N!}

Le facteur N! provient du fait que quand on permute 2 particules semblables d'un état microscopique, on obtient le même état microscopique (les particules sont indiscernables !). C'est pourquoi, il faut diviser par N! (qui représente l'ensemble des permutations envisageables) pour correctement compter le nombre d'états microscopiques.

 S \rightarrow \tilde S = S - k\ln(N!) \approx S - kN \ln(N) [2]

Gaz différents

Dans ce cas, on trouve toujours :

\Delta \tilde S \ge 0

car

<img class=Gaz semblables

Dans le cas, où les gaz sont semblables, on obtient bien :

\Delta \tilde S = 0

Notes

  1. Il y a une formule identique dans : Claudine Guthmann, Danielle Lederer et Bernard Roudet, Éléments de physique statistique, 1996 [détail des éditions].
  2. Comme fréquemment en physique statistique, on utilise ici la formule de Stirling qui montre que \ln(N!)\approx N\ln(N) au premier ordre.

Voir aussi

Bibliographie

  • Claudine Guthmann, Danielle Lederer et Bernard Roudet, Éléments de physique statistique, 1996 [détail des éditions].

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