Modèle de Debye

En physique statistique et en physique du solide, le modèle de Debye est une explication, développée par Peter Debye en 1912, du comportement de la capacité thermique des solides selon la température.

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a) Dans le modèle de Debye, l'énergie moyenne d'un mode de vibration est ... Avec a = 3Å et vs = 3000 m/sec, évaluer numériquement la température de . Debye... (source : w3.lcvn.univ-montp2)

En physique statistique et en physique du solide, le modèle de Debye est une explication, développée par Peter Debye en 1912^[1], du comportement de la capacité thermique des solides selon la température. Il consiste à étudier les vibrations du réseau d'atomes formant le solide, c'est à dire, les phonons.

Ce modèle permet d'expliquer exactement les relevés expérimentaux, tandis que le modèle d'Einstein, basé sur la notion d'oscillateur harmonique quantique, présentait une légère différence. Le modèle de Debye rejoint aussi la Loi de Dulong et Petit à haute température.

Obtention

Le modèle de Debye est analogue à l'obtention de la loi de Planck sur le rayonnement du corps noir. Le second traîte un ensemble de photons, tandis que le premier traîte un ensemble de phonons.

On suppose, pour simplifier, que le solide a une forme cubique de côté L. Les phonons susceptibles d'exister doivent, à la manière de la vibration d'une corde de guitare, ne pas vibrer aux extrémités (voir figure ci-contre). On en déduit tandis que les longueurs d'ondes envisageables sont données par :

$\lambda_n = {2L\over n}$

où n est un entier naturel non-nul.

Or l'énergie d'un phonon est donnée par :

$E_n =\hbar \omega={hc_s\over\lambda_n}={hc_s\over 2L}n$ avec $\omega=c_s |\vec k|$

où $\hbar$ est la constante de Planck, $\vec k$ le vecteur d'onde du phonon, et $c s$ sa vitesse.

Cela correspond, en trois dimensions, à l'expression :

$Eˆ2 =\hbarˆ2 (c_s|\vec k|)ˆ2=\left({hc_s\over 2L}\right)ˆ2 (n_xˆ2+n_yˆ2+n_zˆ2)$ .

Il est alors envisageable de faire la somme de ces énergies pour l'ensemble des phonons présents. Pour cela, il faut utiliser la statistique de Bose-Einstein, donnant la distribution des énergies dans la totalité des phonons, à la température T. On obtient finalement l'expression suivante de l'énergie totale U des phonons :

$U = 9Nk_BT \left({T\over T_D}\right)ˆ3\int_0ˆ{T_D/T} {xˆ3\over eˆx-1}\, dx$

où N est le nombre d'atomes dans le solide reconnu, $k B$ est la constante de Boltzmann, et $T D$ est la température de Debye donnée par :

$T_D = {hc_s\over2Lk_B}\sqrt[3]{6N\over\pi}$ .

La capacité thermique molaire est alors, par définition, la dérivée de U comparé à T. On obtient :

$C_V= 9 N k_B \left({T\over T_D}\right)ˆ3\int_0ˆ{T_D/T} {xˆ4 eˆx\over\left(eˆx-1\right)ˆ2}\, dx$

Obtention de Debye

En réalité, Debye a obtenu cette formule d'une façon légèrement différente, et plus simple. En utilisant la mécanique des milieux continus, il montra que le nombre d'états vibrationnels accessibles aux phonons en dessous d'une fréquence $ν$ est donné approximativement par :

$n \sim {1 \over 3} \nuˆ3 V F$

où V est le volume du solide et F est un facteur calculé avec cœfficients d'élasticité (comme le module d'Young).

En combinant cela à l'énergie d'un oscillateur harmonique (méthode déjà utilisée dans le modèle d'Einstein), on obtiendrait une énergie totale :

$U = \int_0ˆ\infty \,{h\nuˆ3 V F\over eˆ{h\nu/k_BT}-1}\, d\nu$

Mais il ne peut pas y avoir plus d'états vibrationnels que les N atomes peuvent apporter, c'est-à-dire 3N (car il y a trois degrés de liberté de vibration par atome). Ainsi, l'intégrale de la formule précédente doit être calculée jusqu'à une fréquence maximale $ν m a x$ telle que le nombre d'états total soit 3N. C'est-à-dire :

$3N = {1 \over 3} \nu_{max}ˆ3 V F$ .

La formule donnant l'énergie est donc :

$U = \int_0ˆ{\nu_{max}} \,{h\nuˆ3 V F\over eˆ{h\nu/k_BT}-1}\, d\nu = 9 N k_B T \left(\frac{T}{T_D}\right) ˆ3 \int_0ˆ{T_D/T} \,{xˆ3 \over eˆx-1}\, dx$ .

On retrouve bien l'expression obtenue plus haut, avec une température $T D$ d'expression différente. On peut vérifier aussi que les deux expressions de $T D$ sont cohérentes avec la mécanique des milieux continus.

Résulats du modèle

Limite des basses températures

Quand la température est faible devant $T D$ , l'expression de $C V$ se simplifie :

$C_V \sim 9Nk_B \left({T\over T_D}\right)ˆ3\int_0ˆ{\infty} {xˆ4 eˆx\over \left(eˆx-1\right)ˆ2}\, dx$ .

Cette intégrale peut être calculée, ce qui donne :

$C_V \sim {12\piˆ4\over5}Nk_B \left({T\over T_D}\right)ˆ3$

Les relevés expérimentaux correspondent bien à ce comportement.

Limite des hautes températures

Quand la température est grande devant $T D$ , l'expression de $C V$ se simplifie une fois toujours :

$C_V \sim 9Nk_B \left({T\over T_D}\right)ˆ3\int_0ˆ{T_D/T} xˆ2\, dx$ .

D'où :

$C_V \sim 3Nk_B\;$

On retrouve ainsi la loi de Dulong et Petit, qui est assez bien vérifiable par l'expérience, sauf quand l'anharmonicité des vibrations fait remonter la valeur de $C V$ . Qui plus est , il peut être intéressant d'ajouter la contribution des électrons à cette capacité thermique.

Comparaison au modèle d'Einstein

Comparaison des courbes de la capacité thermique par les modèles d'Einstein et de Debye.

Les modèles d'Einstein et de Debye donnent des résultats assez proches, mais celui de Debye est valable aux basses températures tandis que celui d'Einstein ne l'est pas.

Références

↑'Zur Theorie der spezifischen Warmen', Annalen der Physik 39 (4), p. 789 (1912)

Voir aussi

Liens externes

Détermination expérimentale de la capacité thermique du quartz avec un cryostat.

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