Modèle d'Einstein

En physique statistique et en physique du solide, le modèle d'Einstein est un modèle servant à décrire la contribution des vibrations du réseau à la capacité calorifique d'un solide cristallin.

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En physique statistique et en physique du solide, le modèle d'Einstein est un modèle servant à décrire la contribution des vibrations du réseau à la capacité calorifique d'un solide cristallin. Il est basé sur les hypothèses suivantes :

chaque atome de la structure est un oscillateur harmonique quantique 3D,
les atomes vibrent à la même fréquence, contrairement au modèle de Debye.

Ce modèle est appelé selon Albert Einstein, qui l'a proposé en 1907^[1].

Énergie interne

Les vibrations du réseau cristallin sont quantifiées^[2], c'est-à-dire que les énergies de chaque mode normal de vibration ne peuvent prendre que des valeurs discrètes $\hbar\omega_E$ . Ce modèle repose par conséquent sur la dualité onde-particule des phonons et sur le fait que les 3N oscillateurs harmoniques^[3] vibrent à la même fréquence, de manière isotrope.

L'énergie interne U du solide est donnée par la formule :

$U = \frac{3N\hbar\omega_E}{eˆ{\beta\hbar\omega_E}-1}$

où ℏ est la constante de Planck réduite, ω_E est la pulsation d'un oscillateur, N le nombre d'atomes qui forment le dispositif et $\beta = \frac{1}{k_{B}T}$ où k_B est la constante de Boltzmann et T la température absolue.

Démonstration de la formule de l'énergie interne

L'énergie d'un oscillateur harmonique à une dimension vibrant à la fréquence $\hbar\omega_E$ est donnée par :

$E_n=\hbar\omega_E\left(n+\frac{1}{2}\right) (n\ge 0)$

où $n$ est un nombre quantique

On calcule la fonction de partition d'un oscillateur harmonique quantique qui est donnée par la relation :

$Z=\sum_j eˆ{-\beta E_n}=\sum_j eˆ{-\beta(n+\frac{1}{2})\hbar\omega_E}\;\; \left(\text{avec }\beta = \frac{1}{k_{B}T}\right)$

où k_B est la constante de Boltzmann, T la température absolue et j est un état de l'oscillateur. Il y a un seul état par niveau d'énergie ; la somme devient donc :

$Z=\sum_{n=0}ˆ\infty eˆ{-\beta n\hbar\omega_E-\beta\frac{1}{2}\hbar\omega_E} = eˆ{-\frac{\beta\hbar\omega_E}{2}}\sum_{n=0}ˆ\infty (eˆ{-\beta\hbar\omega_E})ˆn$

En appliquant la formule de la somme d'une suite géométrique, on simplifie la fonction de partition :

$Z = eˆ{-\frac{\beta\hbar\omega_E}{2}}\cdot\frac{1}{1-eˆ{-\beta\hbar\omega_E}}$

On obtient alors l'énergie d'un oscillateur :

$\bar{\epsilon}=-\frac{\partial \ln Z}{\partial \beta}$

avec $\ln Z = -\frac{\beta\hbar\omega_E}{2}-\ln(1-eˆ{-\beta\hbar\omega_E})$ ce qui donne

$\bar{\epsilon} = \frac{\hbar\omega_E}{2}+\frac{\hbar\omega_{E}eˆ{-\beta\hbar\omega_E}}{1-eˆ{-\beta\hbar\omega_E}} = \frac{\hbar\omega_E}{2}+\frac{\hbar\omega_E}{eˆ{\beta\hbar\omega_E}-1}$

On remarque au passage que $\lim_{T \to 0}\bar{\epsilon} = \lim_{\beta \to +\infty}\bar{\epsilon} = \frac{\hbar\omega_E}{2}$ . Cette énergie correspond à l'énergie de point zéro pour ne pas violer le principe d'incertitude d'Heisenberg^[4]. On ne tient pas compte de l'énergie de point zéro ce qui donne $\bar{\epsilon} = \frac{\hbar\omega_E}{eˆ{\beta\hbar\omega_E}-1}$ L'énergie interne du dispositif est alors : $U = 3N\bar{\epsilon} = \frac{3N\hbar\omega_E}{eˆ{\beta\hbar\omega_E}-1}$ ^[5]

Capacité calorifique

La capacité calorifique C_V est définie par :

$C_V = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V$

avec $\; U = 3N\bar{\epsilon} = \frac{3N\hbar\omega_E}{eˆ{\beta\hbar\omega_E}-1}\,$ , on obtient

$C_V = \frac{3N\hbarˆ2\omega_Eˆ2}{k_B Tˆ2} \cdot \frac{eˆ{\beta\hbar\omega_E}}{\left(eˆ{\beta\hbar\omega_E}-1\right)ˆ2} = (\beta\hbar\omega_E)ˆ2 \cdot \frac{3Nk_{B}eˆ{\beta\hbar\omega_E}}{\left(eˆ{\beta\hbar\omega_E}-1\right)ˆ2}$

On peut définir la température d'Einstein comme $\Theta_E=\frac{\hbar\omega_E}{k_B}$ . Tout cela nous donne $C_V\left(T\right) = 3Nk_B\cdot\left(\frac{\Theta_E}{T}\right)ˆ2\cdot\frac{\exp\left(\frac{\Theta_E}{T}\right)}{\left[\exp\left(\frac{\Theta_E}{T}\right)-1\right]ˆ2}$

Résultats du modèle

La capacité calorifique obtenue à l'aide du modèle d'Einstein est une fonction de la température. La valeur expérimentale de

3 N k

est retrouvée pour des températures élevées.

Le modèle d'Einstein retrouve la loi de Dulong et Petit, pour les hautes températures :

$\lim_{T \to +\infty} C_V = 3Nk_B$

Cependant, à basse température, ce modèle concorde moins avec les mesures expérimentales que celui de Debye :
Quand $T \rightarrow 0\text{ : }C_V\propto 3Nk_B \left(\frac{\Theta_E}{T} \right)ˆ2 eˆ{-\Theta_E/T}\rightarrow 0$
Cette discordance avec l'expérience peut s'expliquer en abandonnant l'hypothèse selon laquelle les oscillateurs harmoniques vibrent à la même fréquence.

Voir aussi

Bibliographie

Charles Kittel (trad. Nathalie Bardou, Évelyne Kolb), Physique de l'état solide [«Solid state physics»], 1998 [détail des éditions]
Claudine Guthmann, Danielle Lederer et Bernard Roudet, Éléments de physique statistique, 1996 [détail des éditions]
C. Cohen-Tannoudji, B. Diu et F. Laloë, Mécanique quantique [détail des éditions]

Notes et références de l'article

↑ (de) Albert Einstein, «Die Plancksche Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen Wärme», dans Annalen der Physik, vol. 22, 1907, p. 180 [texte intégral]
↑ Cette quantification est due aux conditions aux limites imposées au solide.
↑ On modélise les N atomes qui forment le solide par 3N oscillateurs harmoniques quantiques à une dimension.
↑ À 0 K, l'ensemble des oscillateurs sont dans un même état (n=0). Si l'ensemble des états atomes étaient au repos, leur position et leur vitesse seraient bien déterminées ( $\vec{r} = \vec{0}$ et $\vec{p}=\vec{0}$ ) ce qui serait en contradiction avec le principe d'incertitude d'Heisenberg.
↑ L'énergie interne est égale au nombre d'oscillateur multipliée par l'énergie d'un seul oscillateur.

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