Médiane

En théorie des probabilités et en statistiques, la médiane est un nombre qui divise en deux parties l'échantillon, la population ou la distribution de probabilités tel que chaque partie contient le même nombre de valeurs.



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  • La médiane est utile quand une distribution est déxaxée (ou déséquilibrée), parce qu'elle n'est aucunement influencée par des valeurs aberrantes.... (source : statcan.gc)
  • Le mode est simplement la valeur la plus fréquente dans une distribution... La médiane est la valeur du caractère (par exemple la note, le PNB, le nombre... (source : lemercier.ouvaton)
  • ... La médiane est la valeur pour laquelle il y a tout autant d'occurrences... En gros, une distribution est un pic où se concentre les valeurs ples... (source : fr.answers.yahoo)

En théorie des probabilités et en statistiques, la médiane est un nombre qui divise en deux parties l'échantillon, la population ou la distribution de probabilités tel que chaque partie contient le même nombre de valeurs.

Dans une liste finie de valeurs, il suffit d'ordonner les valeurs dans un ordre croissant et de choisir la valeur centrale comme médiane. S'il y a un nombre pair de valeurs, toute valeur localisée entre les deux valeurs centrales est acceptable, mais c'est le plus fréquemment la moyenne arithmétique des deux valeurs centrales qui est utilisée.

Au contraire de la moyenne arithmétique, la valeur médiane permet d'atténuer l'influence perturbatrice des valeurs extrêmes enregistrées lors de circonstances exceptionnelles.

Exemple

Supposons 19 pauvres et un milliardaire dans une pièce. Tous prennent l'argent de leur poche et le déposent sur une table. Chaque pauvre dépose 5 dollars, tandis que le milliardaire met 1 milliard de dollars. Le montant total est 1 000 000 095 dollars. Si cet argent est aussi distribué parmi les vingt personnes, chacune obtient 50 000 004, 75 dollars. Ce montant est la valeur moyenne de ce qu'elles ont amené. Cependant, la valeur médiane est de 5 dollars, puisque le groupe peut être divisé en deux parties identiques de 10 personnes. On peut par conséquent affirmer que l'ensemble des membres du premier groupe ont amené au plus 5 dollars, tandis que les membres du deuxième groupe ont amené au moins 5 dollars.

Valeur non-unique

Théoriquement, il peut y avoir plus qu'une valeur médiane : s'il y a un nombre pair de valeurs, il existe différentes valeurs qui divisent la totalité en deux parties. Dans ce cas, la moyenne de ces deux valeurs centrales est le plus souvent choisie comme médiane.

Mesure de la dispersion statistique

Quand la médiane est utilisée pour situer des valeurs en statistiques descriptives, il existe différentes possibilités pour exprimer la variabilité : L'étendue, l'écart interquartile et l'écart absolu. Puisque la médiane est la même valeur que le deuxième quartile, son calcul est détaillé dans l'article sur les quartiles.

Médianes dans les distributions de probabilités

Pour chacune des distributions de probabilités sur la ligne des nombres réels avec une fonction de distribution cumulative, F, peu importe s'il s'agit d'une distribution continue de probabilités ou d'une distribution discrète de probabilités, une médiane m satisfait l'égalité :

P(X\leq m)=P(X\geq m)=\int_{-\infty}ˆm dF(x)

dans laquelle une intégrale de Riemann-Stieltjes apparaît. Pour une distribution de probabilités totalement continue avec une densité de probabilité f, il y a :

P(X\leq m)=P(X\geq m)=\int_{-\infty}ˆm f(x)\, dx=0,5.

Médianes de certaines distributions

Pour l'ensemble des distributions symétriques, la médiane est égale à l'espérance.

La médiane est essentiellement utilisée pour les distributions asymétriques, car elle les représente mieux que la moyenne arithmétique. Considérons la totalité { 1, 2, 2, 2, 3, 9 }. La médiane est 2, tout comme le mode, ce qui est une meilleure mesure de tendance centrale que la moyenne arithmétique égale à 3, 166….

Le calcul de la médiane est fréquemment effectué pour représenter différentes distributions et elle est facile à comprendre, tout comme à calculer. Elle est aussi plus robuste que la moyenne en présence de valeurs extrêmes.

Propriétés théoriques

Propriété optimale

La médiane est aussi la valeur centrale qui minimise la valeur moyenne des écarts absolus. Dans la série donnée jusque là, ce serait (1 + 0 + 0 + 0 + 1 + 7) / 6 = 1, 5, plutôt que 1, 944 à partir de la moyenne. En principe des probabilités, la valeur c qui minimise

E(\left|X-c\right|)\,

est la médiane de la distribution de probabilités de la variable aléatoire X.

Inégalité impliquant les moyennes et les médianes

Pour les distributions continues de probabilités, la différence entre la médiane et la moyenne est d'au plus d'un écart type.

Calcul efficace

Bien que le tri de n items prend généralement O (n log n) opérations, il est envisageable de calculer la médiane de n items avec l'algorithme diviser pour régner en uniquement O (n) opérations.

Voir aussi

Liens externes

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