Martingale

Une martingale est une technique permettant d'augmenter les chances de gain aux jeux de hasard tout en respectant les règles de jeu. Le principe dépend totalement du type de jeu qui en est la cible, mais le terme est accompagné d'une aura de mystère qui voudrait que certains joueurs connaissent des techniques secrètes mais efficaces pour tricher avec le hasard. A titre d'exemple, de nombreux joueurs (ou candidats au jeu) cherchent LA martingale qui permettra de battre la banque dans les jeux les plus courants dans les casinos (des institutions dont la rentabilité repose presque entièrement sur la différence - même faible - qui existe entre les chances de gagner et celles de perdre).

Cependant, une martingale ne permet en aucun cas de changer l'espérance du gain : en moyenne un joueur utilisant une martingale ne gagnera pas plus qu'un autre joueur. En effet, la martingale sert à perdre moins fréquemment, mais elle augmente en contrepartie le montant des pertes.

Les différentes martingales

De nombreuses martingales ne sont que le rêve de leur auteur, certaines sont en fait inapplicables, quelques-unes permettent effectivement de tricher légèrement. Les jeux d'argent sont généralement inéquitables : quelle que soit la stratégie adoptée, la probabilité de gain du casino (ou de l'État dans le cas d'une loterie) est plus importante que celle du joueur. Dans ce type de jeu, il n'est pas envisageable d'inverser les chances, uniquement de minimiser la probabilité de ruine du joueur.

La martingale classique

Elle consiste à jouer une chance simple à la roulette (noir ou rouge, pair ou impair, passe ou manque) de manière à gagner, par exemple, une unité dans une série de coups en doublant sa mise si on perd, et cela jusqu'à ce qu'on gagne. Exemple : le joueur mise 1 unité sur le rouge, si le rouge sort, il arrête de jouer et il a gagné 1 unité (2 unités de gain moins l'unité de mise), si le noir sort, il double sa mise en pariant 2 unités sur le rouge et ainsi de suite jusqu'à ce qu'il gagne.

Ayant une chance sur deux de gagner, il peut penser qu'il va finir par gagner ; lorsqu'il gagne, il est nécessairement remboursé de tout ce qu'il a joué, plus une fois sa mise de départ.

Cette martingale semble être sûre en pratique. Sur le plan théorique, pour être sûr de gagner, il faudrait avoir la possibilité de jouer un nombre de fois infini. Ce qui présente des inconvénients majeurs :

• Cette martingale est limitée par les mises que le joueur peut faire, car il faut doubler la mise à chaque coup tant qu'on perd : 2 fois la mise de départ, puis 4, 8, 16.... s'il perd 10 fois de suite, il doit pouvoir avancer 1024 fois sa mise d'origine pour la 11^e partie ! Il faut par conséquent énormément d'argent pour gagner peu.

exemple : Mise d'origine 1euro.

On mise 1 euro, soit on gagne 2euros moins notre mise précédente 2-1=1 euro, soit on perd.

On mise 2 euros, soit on gagne 4 euros moins notre mise précédente : 4 -3=1 euro, soit on perd.

On mise 4 euros, soit on gagne 8 euros moins notre mise précédente 8-4-2-1=1 euro, soit on perd.

On mise 8 euros, soit on gagne 16 euros moins notre mise précédente 16-8-4-2-1=1 euro, soit on perd.

On mise 16 euros, soit on gagne 32 euros moins notre mise précédente 32-16-8-4-2-1=1 euro, soit on perd.

On mise 32 euros, soit on gagne 64 euros moins notre mise précédente 64-32-16-8-4-2-1=1 euro, soit on perd.

On mise 64 euros, soit on gagne 128 euros moins notre mise précédente 128-64-32- 16-8-4-2-1=1 euro, soit on perd.

On mise 128 euros, soit on gagne 256 euros moins notre mise précédente 256-128-64-32-16-8-4-2-1=1 euro, soit on perd.

En somme plus vous jouez, plus vous allez miser énormément pour gagner uniquement 1 euro.

• Les roulettes comportent un «0» qui n'est ni rouge ni noir. Le risque de perdre lors de chaque coup est ainsi plus grand que 1/2.
• De plus, pour paralyser cette stratégie, les casinos proposent des tables de jeu par tranche de mise : de 1 à 100 euros, de 2 à 200, de 5 à 500, etc. Impossible par conséquent d'utiliser cette méthode sur la plupart de coups, ce qui augmente le risque de tout perdre car il n'est pas rare qu'une même couleur sorte plus de 10 fois de suite.

La grande martingale

Elle est comparable à la martingale classique, sauf que le joueur ne se contente pas de doubler sa mise à chaque perte, il ajoute aussi une unité.

A titre d'exemple, le joueur mise une unité :

• S'il gagne, il quitte le jeu avec 2 unités - 1 unité qu'il a jouée = 1 unité
• S'il perd une première fois, il joue 3 unités ; s'il gagne, il emporte 6 unités - 3 (qu'il vient de jouer dans la 2^e partie) - 1 (qu'il a jouée dans la 1^re partie) = 2 unités
• S'il perd une deuxième fois, il joue 7 unités ; s'il gagne, il emporte 14 unités - 7 (qu'il vient de jouer dans la 3^e partie) - 3 (qu'il a jouées dans la 2^e partie) - 1 (qu'il a jouée dans la 1^re partie) = 3 unités
• etc.

Cette martingale est aussi peu sûre que la martingale classique (le joueur a l'impression qu'il ne peut rien perdre, mais c'est vrai uniquement s'il a réussi à miser juste, avant de quitter la table de jeu !), par contre elle permet d'augmenter les gains.

Cette technique présente les mêmes inconvénients que la martingale classique, mais en particulier elle est toujours plus limitée par les mises que le joueur peut faire : il suffit qu'il perde trois fois, pour devoir jouer 15 fois sa mise au prochain coup (2047 fois pour la 11^e partie).

De plus, les gains peuvent être jugés faibles au regard des sommes misées, ainsi, quelqu'un qui ne gagnerait qu'au dixième essai misera 1023 unités pour obtenir un gain qui ne s'élèvera qu'à 10 unités.

La Piquemouche

C'est une autre variante de la martingale classique. Le joueur recommence à une unité lorsqu'il gagne, mais lorsqu'il perd, il augmente sa mise d'une unité, il ne la double qu'après trois pertes consécutives. Elle ne nécessite pas d'augmenter dès le début les mises en cas de pertes successives, elle est plus sûre, mais les gains sont faibles (nuls si on ne gagne pas dès la première partie) ou nécessite 2 gains.

Exemple :

• Le joueur mise une unité ; s'il gagne, il quitte le jeu avec 2 unités - 1 unité qu'il a jouée = 1 unité
• S'il perd une première fois, il joue 1 unité ; s'il gagne, il emporte 2 unités - 1 (qu'il a jouée dans la 2^e partie) - 1 (qu'il a jouée dans la 1^re partie) = 0 unité
• S'il perd une deuxième fois, il joue 1 unités ; s'il gagne, il emporte 2 unités - 1 (qu'il a jouées dans la 3^e partie) - 1 (qu'il a jouée dans la 2^e partie) - 1 (qu'il a jouée dans la 1^re partie) = -1 unité
• Il faut par conséquent un deuxième gain pour être gagnant.
• Suite de mise si toujours perdant 1 - 1 - 1 - 2 - 2 - 2 - 4 - 4 - 4 - 8...
• etc.

La Whittacker

Le joueur joue une whittacker quand il mise la somme de ses deux précédentes mises tant qu'il perd, et recommence à une unité lorsqu'il gagne.

La pyramide d'Alembert

Le nom est une référence à Jean le Rond d'Alembert, mathématicien du XVIII^e siècle. Le principe consiste à augmenter la mise d'une unité après une perte ainsi qu'à diminuer la mise d'une unité après un gain.

Utilisée quand on pense qu'un gain diminue la chance de gagner toujours, tandis qu'une perte augmente la chance de gagner ensuite (illustré par le célèbre principe shadok : «plus ça rate, plus on a de chances que ça marche»).

La contre d'Alembert

Cette martingale reprend le principe de celle d'Alembert mais les mises se font dans l'autre sens : il faut par conséquent ici diminuer la mise d'une unité quand on perd et augmenter la mise d'une unité quand on gagne.

Inversement à la précédente, elle est utilisée quand on pense que la chance passée est représentative de la chance future (par exemple face à une rangée de machines à sous).

Le paroli

Cette martingale consiste à doubler la mise à chaque gain (donc remiser ce qu'on a gagné), puis, à partir d'un nombre de gain défini à l'avance, s'arrêter et recommencer avec la mise de départ. On parle de paroli de 1, si on s'arrête après avoir gagné deux fois sa mise, paroli de 2 si on a gagné quatre fois sa mise, paroli de 3 si on s'arrête après avoir gagné huit fois sa mise, etc.

La martingale américaine

Appelée aussi "montante américaine", elle demande de remiser la somme première + dernière perte. Le joueur démarre en augmentant ses mises d'une unité tant qu'il gagne. Dès qu'il perd, il retient la mise qu'il vient de perdre, et remise la somme de la dernière et de la première mise. Lorsqu'il gagne, il retient la mise qu'il a gagnée, et raye la première mise de sa liste. Puis il remise la somme de la dernière et de la première mise de sa liste, en ne tenant pas compte de celle qu'il a rayée. Exemple :

• Le joueur mise une unité :
• S'il gagne il mise 2, s'il perd il note 1 et mise 2.
• S'il gagne et qu'il avait gagné il mise 3 (2+1), s'il perd et qu'il avait gagné il note 2 et mise 3 (1ère + dernière perte = 1+2). Dans ce cas précis les résultats sont les mêmes s'il avait perdu au premier tour.
• etc

La martingale hollandaise

Le joueur met en œuvre cette martingale quand il perd. Il retient l'ensemble des mises qu'il a perdues. Il mise la mise la plus faible parmi celles qu'il a perdues (s'il en a perdues plusieurs), en ajoutant 1. Puis il remise la mise suivante, dans l'ordre croissant. Ainsi à chaque victoire le joueur gagne le montant d'une mise perdue auparavant, plus 1.

Cette martingale est séduisante dans le sens où il semble que si le joueur obtient tout autant de victoires que d'échec son gain reste positif, égal à 1/2 par coup. En réalité, ceci n'est vrai que si les coups gagnants surviennent après les coups perdants. De plus après plusieurs échecs successifs, tant que le joueur n'a pas été remboursé par une quantité égale de victoires il doit constamment augmenter ses mises pour tenter de récupérer les sommes perdues. Une telle situation va presque sûrement se produire à un moment ou un autre de la partie, ainsi la martingale hollandaise a une tendance particulièrement forte à l'emballement. En réalité, elle a un comportement proche de la martingale classique avec comme avantage de ne pas être limitée par la mise maximale autorisée.

Martingales et mathématiques

Une martingale est conçue pour optimiser l'espérance mathématique d'une stratégie de jeu.

Loi de Dubins et Savage

Mathématiquement, Lester Dubins et Leonard Savage ont démontré en 1956 que la meilleure façon de jouer dans un jeu où les probabilités sont défavorables au joueur consiste à miser toujours ce qui permet d'approcher le plus rapidement l'objectif visé. Intuitivement ce résultat semble évident : si à chaque partie on a plus de chances de perdre que de gagner, tout autant minimiser le nombre de parties jouées. Ce résultat veut dire aussi, qu'à moins de disposer d'une mise de départ illimitée, il n'existe pas de stratégies servant à renverser les probabilités en votre faveur dans un jeu qui vous est défavorable.

Même dans le cas d'un jeu équitable, le joueur qui a à la fois la possibilité et la volonté de miser le plus se donne plus de chances de ruiner son adversaire et par conséquent de l'empêcher de continuer à jouer : ainsi, au prix d'une perte potentielle plus grande, il se donne aussi plus de chance de gains. Comme dans toute martingale, cela ne modifie cependant pas l'espérance des deux joueurs (c'est-à-dire le plus «petit joueur» a moins de chance de gagner mais, aussi paradoxal que ça paraisse, il peut gagner plus !).

Probabilités

Il existe cependant certains jeux de hasard qui ne sont pas toujours défavorables au joueur. On peut citer par exemple le cas de William Jaggers qui gagna une forte somme à Monte-Carlo au XIX^e siècle en étudiant toujours les fréquences de sortie des numéros à la roulette. Il put ainsi déterminer certains numéros qui avaient une probabilité de sortie qui lui était favorable. Actuellement les casinos se protègent contre ce genre de pratiques en entretenant soigneusement leur matériel, si bien que les dispersions sont extrêmement faibles. Ceci veut dire que les probabilités de sortie d'un numéro donné sont au mieux particulièrement un peu favorables au joueur. Il faudrait par conséquent parier un nombre immense (fréquemment pendant plusieurs mois) de fois des petites sommes pour espérer un gain certainement particulièrement loin de rémunérer les efforts consentis.

Le black jack est un jeu qui possède des stratégies gagnantes : plusieurs techniques de jeu, qui nécessitent le plus souvent de mémoriser les cartes, permettent de renverser les chances en faveur du joueur. Le mathématicien Edward Thorp a ainsi publié en 1962 un ouvrage Beat the Dealer qui fut à l'époque un véritable best-seller. Mais toutes ces méthodes demandent de longues semaines d'entraînement et sont aisément décelables par le croupier (les brusques changements de montant des mises sont caractéristiques). Le casino a alors tout loisir d'écarter de son établissement les joueurs en question. Le black jack reste néenmoins le jeu le moins défavorable au joueur : l'avantage du casino n'est que de 0, 66 % face à un bon joueur, il est de 2, 7 % à la roulette et jusqu'à 10 % pour les machines à sous.

Le Backgammon quoiqu'étant un jeu de dés sert à développer des stratégies gagnantes sur la plupart de parties. En effet l'arbitrage entre les différents déplacements de pions ressemble à un mouvement quasi mathématique de style wargame et pouvant être représenté par des graphes probabilistes. Le jeu peut se résumer en un processus séquentiel de Markov. Aussi étrange que cela puisse paraître, ce jeu peut s'appliquer en assurance dans la gestion des risques généralement. Les arbitrages constants que doivent effectuer les joueurs peuvent être représentés dans une matrice de Léontiev. De tels outils peuvent "perdre" devant un joueur même inexpérimenté si ce dernier bénéficie de jets de dés favorables mais il est incontestable que plus le nombre de parties est élevé, plus la formule de Stirling et la loi des grands nombres de Bernoulli s'appliquent et autorisent une machine intelligente de gagner tout tournoi au-delà de 50 parties.

Les méthodes évoluées pour le loto

Il existe des méthodes assez évoluées. L'une d'elles repose sur les combinaisons les moins jouées. Dans les jeux où le gain dépend du nombre de joueurs gagnants (Loto... ), jouer les combinaisons les moins jouées optimisera les gains. C'est ainsi que certaines personnes vendent des combinaisons qui seraient statistiquement particulièrement rarement utilisées par les autres joueurs. On peut tout de même deviner que certains numéros sont joués plus fréquemment : énormément de joueurs cochant leur date de naissance, ou une autre date, les numéros 1, 9, et 19 correspondants à l'année sont fréquemment joués. Il en est de même des 12 premiers numéros correspondants aux mois.

Partant de ce raisonnement, on peut toujours conclure qu'un joueur qui aurait réussi à déterminer ainsi les combinaisons statistiquement les moins jouées, afin d'optimiser son espérance de gain ne sera en fait sans doute pas l'unique joueur à avoir obtenu par l'analyse ces fameuses combinaisons, et tous ces joueurs risquent par conséquent finalement d'être particulièrement déçus par leurs gains s'il s'avérait que cette combinaison équiprobable sorte au tirage ! Cela revient à dire que les numéros en principe les moins joués sont en fait surjoués par combinaisons, le mieux serait peut-être de réaliser un savant mélange de numéros sous-joués et de numéros surjoués pour obtenir les combinaisons parfaites, qui peuvent d'autre part être observées dans les tirages passés quand il n'y a pas eu de gagnant. Une autre conclusion à tout cela est peut-être que le mieux est toujours de jouer des combinaisons aléatoires qui ont finalement moins de chance d'être aussi choisies par les joueurs qui incorporent un facteur humain et harmonieux dans le choix de leurs nombres.

D'autres joueurs moins analytiques sont tentés de parier quand des cagnottes spéciales sont mises en jeu, car l'espérance de gain est alors optimale ou alors supérieure à la mise.

Les méthodes miraculeuses

Un certain nombre de revues ou de sites Internet prétendent vous renseigner sur la «forme» des numéros, c'est-à-dire leur probabilité de sortir dans les prochains tirages. Voici par exemple un tirage de 50 boules de loto : 39, 38, 42, 29, 18, 48, 40, 36, 9, 24, 49, 33, 47, 9, 45, 7, 11, 49, 16, 28, 27, 25, 16, 27, 22, 48, 5, 24, 16, 6, 4, 14, 17, 44, 46, 9, 37, 22, 39, 12, 33, 9, 21, 44, 11, 33, 19, 20, 37, 18. On s'aperçoit que la boule 9 est sortie 4 fois tandis que la boule 8 n'est jamais sortie. Suite à calculs savants, les auteurs de ces «méthodes» vous diront tandis que le chiffre 9 est en forme et qu'il va par conséquent sortir dans les prochains tirages ou au contraire que la loi des grands nombres implique que le 8 va sortir pour combler son retard.

Il s'agit évidemment là d'une erreur à la limite de l'escroquerie caractérisée. Les boules de loto ne s'amusent pas à compter le nombre de fois où elles sont sorties de la machine, d'autant plus qu'il faudrait qu'elles soient suffisamment coquettes pour ne pas prendre en compte les tirages de tests ou de calibrage des machines. Si chaque boule a en moyenne une chance sur 49 de sortir, cette probabilité n'est atteinte que pour un nombre illimitément grand de tirages. Le fait que la boule 9 soit sortie 4 fois de plus que la boule 8 n'a par conséquent aucune importance puisque les probabilités ne garantissent pas que chaque boule va sortir le même nombre de fois, mais simplement que la différence du nombre de sorties de deux boules sera particulièrement petite comparé au nombre total de tirages : rien ne dit que la boule huit va finalement rattraper son retard. A titre d'exemple, si au bout de dix mille tirages la boule 9 est sortie 206 fois et la boule 8 est sortie 202 fois, on obtiendra une fréquence de 1, 01/49 et 0, 99/49. Au millionième tirage si la boule 9 est sortie 20410 fois et la boule 8 est sortie 20406 fois on obtiendra respectivement 1, 0001/49 et 0, 9999/49. Les fréquences s'approchent de plus en plus de la probabilité théorique de 1/49, néenmoins la boule 9 conserve son avance de quatre sorties sur la boule 8.

D'autres reposent sur le pari d'un biais systématique : les tirages ne sont pas précisément équiprobables, à la suite par exemple d'infimes différences de poids des boules. Même si le calcul de l'espérance mathématique de ce type de martingale est bien plus complexe, le bon sens indique que si l'auteur de la recette trouve plus rentable de la vendre que de l'utiliser pour son compte, c'est certainement que son efficacité est environ nulle.

Voir aussi

• Loto
• Casino virtuel
• Espérance mathématique
• Probabilité

Liens externes

• Martingales et autres illusions, article tiré du journal Pour la Science
• martingale roulette en détails

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La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 07/04/2010.
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