Loi tronquée

En probabilité et en statistiques, une loi tronquée est une loi conditionnelle, dérivée d'une autre loi de probabilité. Plus clairement, pour une variable aléatoire X de support réel, dont la fonction de répartition est F, la loi tronquée à...


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Loi de probabilité - Statistiques

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En probabilité et en statistiques, une loi tronquée est une loi conditionnelle, dérivée d'une autre loi de probabilité. Plus clairement, pour une variable aléatoire X de support réel, dont la fonction de répartition est F, la loi tronquée à l'intervalle réel [a, b] est simplement la loi conditionnelle de X|a \leq X \leq b. Ce type de situation survient dans la censure statistique. A titre d'exemple, pour l'étude de la durée passée au chômage, durant le temps d'observation, certaines personnes étaient déjà au chômage au début de l'étude mais retrouvent du travail dans ce laps de temps (troncature à gauche) et d'autres perdent leur emploi et restent au chômage au-delà de la fin de l'étude (troncature à droite). L'étude de la loi tronquée permet alors d'évaluer la fonction de vraisemblance.

Densité

Pour une variable aléatoire X, de support réel, et dont la fonction de répartition est F et la densité f, on peut montrer que le conditionnement de X à l'intervalle réel [a;b] donne :

Pr(X \leq x|a \leq X \leq b) = \frac{Pr(a\leq X \leq x)}{Pr(a \leq X \leq b)} = \frac{F(x)-F(a)}{F(b)-F(a)}

avec x \in [a;b]. La densité g associée est

g(x)=f(x|a \leq X \leq b) = \frac{f(x)}{F(b)-F(a)}

pour x \in [a;b], 0 sinon. g est une densité, puisque

\int_{a}ˆ{b} g(x) \,\mathrm{d}x = \frac{1}{F(b)-F(a)} \int_{a}ˆ{b} g(x) \,\mathrm{d}x = 1 .


Il existe d'autres troncatures; pour une troncature du type X > y, la densité devient

<img class=y < x et g (x) = 0 partout ailleurs.

Pour une troncature du type X \leq y, la densité est :

g(x)=f(x|X \leq y) = \frac{f(x)}{F(y)}

pour x \leq y et 0 sinon.

Espérance d'une variable aléatoire tronquée

L'espérance de X conditionnellement à l'événement X > y est <img class= C1, la fonction (de y) E (u (X) | X > y) présente quelques propriétés :

  1. <img class=, \lim_{y \to c} u(y) = u(c) et \lim_{y \to c} f(y) = f(c) où c représente soit a ou b.

    Loi normale tronquée

    La loi tronquée la plus utilisée est la loi normale tronquée, obtenue à partir d'une Loi normale. Elle est utilisée en économétrie dans le modèle Tobit et le modèle Probit, pour modéliser respectivement les données censurées et les probabilités de choix binaire.

    Si X \sim N(\mu, \sigmaˆ{2}) \!, et qu'on contraint X à appartenir à l'intervalle [a;b] avec -\infty \leq a < b \leq \infty . Alors la densité tronquée est

    f(x;\mu,\sigma, a,b) = \frac{\frac{1}{\sigma}}{\Phi(\frac{b - \mu}{\sigma}) - \Phi(\frac{a - \mu}{\sigma}) }\phi\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right),

    avec est la densité de la loi normale standard, et sa Fonction de répartition. On impose la convention que si, alors et de même, si, alors.

    Les moments pour une double troncature sont

    E(X|a<X<b) = \mu + \frac{\phi(\frac{a-\mu}{\sigma})-\phi(\frac{b-\mu}{\sigma})}{\Phi(\frac{b-\mu}{\sigma})-\Phi(\frac{a-\mu}{\sigma})}\sigma\!
    Var(X|a<X<b) = \sigmaˆ2\left[1+\frac{\frac{a-\mu}{\sigma}\phi(\frac{a-\mu}{\sigma})-\frac{b-\mu}{\sigma}\phi(\frac{b-\mu}{\sigma})}{\Phi(\frac{b-\mu}{\sigma})-\Phi(\frac{a-\mu}{\sigma})} -\left(\frac{\phi(\frac{a-\mu}{\sigma})-\phi(\frac{b-\mu}{\sigma})}{\Phi(\frac{b-\mu}{\sigma})-\Phi(\frac{a-\mu}{\sigma})}\right)ˆ2\right],\!

    Pour une simple troncature, ces moments deviennent

    E (X | a < X) = μ + σλ (α)

    et

    Var (X | X > a) = σ2[1 − δ (α) ]

    avec \alpha=(a-\mu)/\sigma,\; \lambda=\phi(\alpha)/[1-\Phi(\alpha)]\; \text{et} \; \delta(\alpha) = \lambda(\alpha)[\lambda(\alpha)-\alpha].

    Troncature aléatoire

    Considérons la configuration suivante : une valeur de troncature, disons t, est tirée au hasard, depuis une densité de probabilité g (t) , non-observable. On observe alors une valeur x tirée dans la densité tronquée f (x | t) . On souhaite, à partir de l'observation de x, mieux connaître la densité de t.

    Par définition, on a déjà :

    f(x)=\int_{x}ˆ{\infty} f(x|t)g(t) \, \mathrm{d}t

    et

    F(a)=\int_{-\infty}ˆa[\int_{x}ˆ{\infty} f(x|t)g(t) \, \mathrm{d}t] \, \mathrm{d}x

    t doit être plus grand que x, et donc, quand on intègre sur t, il faut poser x comme limite inférieure.

    Par le théorème de Bayes :

    g(t|x)= \frac{f(x|t)g(t)}{f(x)}

    qui devient

    g(t|x) = \frac{f(x|t)g(t)}{\displaystyle\int_{x}ˆ{\infty} f(x|t)g(t)\, \mathrm{d}t}

    Exemple : deux variables uniformes

    En supposant que t est uniformément distribuée sur [0;T] et que X|t est aussi uniformément distribuée, cette fois-ci sur [0;t]. Soit g (t) et f (x | t) les densités décrivant respectivement t et x. On suppose observer une valeur de x, et la distribution de t sachant x est

    g(t|x) =\frac{f(x|t)g(t)}{f(x)} = \frac{1}{t(\ln(t) - \ln(x))}

    pour t > x.

    Voir aussi

    Références

    • Greene, William H. (2003). Econometric Analysis (5th ed. ). Prentice Hall. (ISBN 0-13-066189-9)
    • Norman L. Johnson and Samuel Kotz (1970). Continuous univariate distributions-1, chap. 13. John Wiley & Sons.


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