Loi normale asymétrique

En théorie des probabilités et en statistiques, la distribution normale asymétrique est une distribution de probabilité continue qui généralise la distribution normale en introduisant une asymétrie non nulle.

Catégories :

Loi de probabilité - Statistiques

Page(s) en rapport avec ce sujet :

cœfficient d'asymétrie d'une distribution de probabilité théorique à partir... En actuariat, les distributions de sinistres sont asymétriques positives, c'est- à ... La fonction de densité / répartition d'une loi Normale est obtenue à ... (source : damas.ift.ulaval)
Les cœfficients d'asymétrie et d'aplatissement de la loi normale sont ..... probabilité Q (c2/n) est une bonne approximation de la vraie distribution de c2.... (source : rachid.ababou.free)

Normale Asymétrique
Densité de probabilité / Fonction de masse
Fonction de répartition

Paramètres	$\xi \,$ position (réel) $\omega \,$ échelle (réel positif) $\alpha \,$ forme (asymétrie) (réel)
Support	$x \in (-\infty; +\infty)\!$
Densité de probabilité (fonction de masse)	$\frac{1}{\omega\pi} eˆ{-\frac{(x-\xi)ˆ2}{2\omegaˆ2}} \int_{-\infty}ˆ{\alpha\left(\frac{x-\xi}{\omega}\right)} eˆ{-\frac{tˆ2}{2}}\ dt$
Fonction de répartition
Espérance	$\xi + \omega\delta\sqrt{\frac{2}{\pi}}$ où $\delta = \frac{\alpha}{\sqrt{1+\alphaˆ2}}$
Variance	$\omegaˆ2\left(1 - \frac{2\deltaˆ2}{\pi}\right)$
Asymétrie (statistique)	$\frac{4-\pi}{2} \frac{\left(\delta\sqrt{2/\pi}\right)ˆ3}{ \left(1-2\deltaˆ2/\pi\right)ˆ{3/2}}$
Kurtosis (non-normalisé)	$2(\pi - 3)\frac{\left(\delta\sqrt{2/\pi}\right)ˆ4}{\left(1-2\deltaˆ2/\pi\right)ˆ2}$
Fonction génératrice des moments	$\exp\left(\mu\,t+\sigmaˆ2 \frac{tˆ2}{2}\right)\Phi(\sigma\delta t)$
Fonction caractéristique	$\exp\left(\mu\,i\,t-\frac{\sigmaˆ2 tˆ2}{2}\right)(1+i\,\mathrm{erf}(\frac{\sigma\delta t}{\sqrt2}))$

En théorie des probabilités et en statistiques, la distribution normale asymétrique est une distribution de probabilité continue qui généralise la distribution normale en introduisant une asymétrie non nulle.

Définition

Soit $φ (x)$ la densité de probabilité de la loi normale centrée réduite

$\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}eˆ{-\frac{xˆ2}{2}}$

avec sa fonction de répartition donnée par

$\Phi(x) = \int_{-\infty}ˆ{x} \phi(t)\ dt = \frac{1}{2} \left[ 1 + \text{erf} \left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right].$

Alors la densité de probabilité de la distribution normale asymétrique de paramètre α est donnée par

$f(x) = 2\phi(x)\Phi(\alpha x). \,$

Pour ajouter un paramètre de position et un paramètre d'échelle à cela, on utilise la transformation usuelle $x\mapsto \frac{x-\xi}{\omega}$ . On peut vérifier qu'on retrouve une distribution normale quand $α = 0$ , et que la valeur absolue de l'asymétrie augmente quand la valeur absolue de $α$ augmente. La distribution est asymétrique vers la droite si $α > 0$ et est asymétrique vers la gauche si $α < 0$ . La densité de probabilité avec un paramètre de position ξ, un paramètre d'échelle ω, et un paramètre d'asymétrie α devient

$f(x) = \left(\frac{2}{\omega}\right)\phi\left(\frac{x-\xi}{\omega}\right)\Phi\left(\alpha \left(\frac{x-\xi}{\omega}\right)\right). \,$

Estimation

L'estimateur du maximum de vraisemblance pour $ξ$ , $ω$ , et $α$ peut être calculé numériquement, mais il n'existe pas d'expression directe des estimateurs sauf si $α = 0$ . Si on a besoin d'une expression explicite, la méthode des moments peut être appliquée pour estimer $α$ à partir de l'asymétrie empirique de l'échantillon, en inversant l'équation d'asymétrie. Cela donne l'estimateur

$|\delta| = \sqrt{\frac{\pi}{2}} \frac{ |\hat{\gamma}_3|ˆ{\frac{1}{3}} }{\sqrt{|\hat{\gamma}_3|ˆ{\frac{2}{3}}+((4-\pi)/2)ˆ\frac{2}{3}}}$

où $\delta = \frac{\alpha}{\sqrt{1+\alphaˆ2}}$ , et $\hat{\gamma}_3$ est l'asymétrie empirique. Le signe de $δ$ est le même que celui de $\hat{\gamma}_3$ . Donc, $\hat{\alpha} = \delta/\sqrt{1-\deltaˆ2}$ .

Voir aussi

Asymétrie (statistique)

Références

A. Azzalini, «A class of distributions which includes the normal ones», dans Scand. J. Statist. , vol. 12, 1985, p. 171–178

Liens externes

Recherche sur Amazon (livres) :

Ce texte est issu de l'encyclopédie Wikipedia. Vous pouvez consulter sa version originale dans cette encyclopédie à l'adresse http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_normale_asym%C3%A9trique.
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 07/04/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.