Loi multinomiale

La loi binomiale concerne le nombre de succès dans n épreuves de Bernoulli indépendantes donnant chacune un résultat binaire, comme dans le jeu de pile ou face.

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Loi de probabilité - Statistiques

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Multinomiale
Paramètres	$n > 0$ nombre d'épreuves (entier) $p_1, \ldots p_m$ probabilités des événements ( $Σ p i = 1$ )
Support	$N_i \in \{1,\dots,m\}$ $\Sigma N_i = n\!$
Densité de probabilité (fonction de masse)	$\frac{n!}{n_1!\cdots n_m!} p_1ˆ{n_1} \cdots p_mˆ{n_m}$
Espérance	$E {X i} = n p i$
Variance	$Var (X i) = n p i (1 - p i)$ $Cov (X i, X j) = - n p i p j$ ( $i\neq j$ )
Fonction génératrice des moments	$\left( \sum_{i=1}ˆm p_i eˆ{t_i} \right)ˆn$

La loi binomiale concerne le nombre de succès dans n épreuves de Bernoulli indépendantes donnant chacune un résultat binaire, comme dans le jeu de pile ou face. La loi multinomiale est une généralisation de celle-ci, applicable par exemple à n jets d'un dé à six faces. Au contraire de ces exemples simples, les différentes possibilités ne sont le plus souvent pas équiprobables.

Autre présentation de la loi binomiale

La fonction de probabilité de la variable aléatoire binomiale $X\,$ qui s'écrit

$\mathcal{P}(X=x) = \frac{n!} {x! (n-x)!} pˆx (1-p)ˆ{n-x}$

peut se réécrire de manière symétrique en faisant intervenir deux variables dont la somme est égale à n :

$N_1 = X \quad N_2 = n-X \quad p_1 = p \quad p_2 = 1-p$ $\mathcal{P}(N_1 = n_1,N_2 = n_2) = \frac{n!} {n_1! n_2!} p_1ˆ{n_1} p_2ˆ{n_2}$

Généralisation

Dans le cas multinomial à $m\,$ résultats envisageables au lieu de 2, les variables deviennent $N_i\,$ , $i=\{1,\ldots,m\}\,$ et correspondent aux probabilités $p_i\,$ , $i=\{1,\ldots,m\}\,$ avec les contraintes

$\sum_{i=1}ˆm N_i = n \quad \sum_{i=1}ˆm p_i = 1$

La fonction de probabilité s'écrit alors, sous la condition portant sur la somme des variables :

$\mathcal{P}(N_1 = n_1,\ldots N_m = n_m) = \frac{n!} {n_1! \ldots n_m!} p_1ˆ{n_1}\ldots p_mˆ{n_m}$

Chacune des variables reste une variable binomiale dont la moyenne et la variance sont

$E[N_i] = n p_i \quad var[N_i] = n p_i (1-p_i)$

tandis que les covariances s'écrivent

$cov[N_i,N_j] = -n p_i p_j\,$

Approximation

Quand la variable aléatoire $N_i\,$ devient assez grande, le théorème de la limite centrale montre qu'elle est raisonnablement approchée par une variable normale à laquelle correspond la variable centrée réduite $\frac {N_i - n p_i} {\sqrt{np_i(1-p_i)}}$ .

Si ces variables étaient indépendantes, $\sum_{i=1}ˆm \frac {(N_i - n p_i)ˆ2} {np_i(1-p_i)}$ suivrait une loi du $\chiˆ2\,$ à $m\,$ degrés de liberté.

Du fait de la contrainte linéaire qui s'applique, la variable $\sum_{i=1}ˆm \frac {(N_i - n p_i)ˆ2} {n p_i}$ suit une loi du $\chiˆ2\,$ à $(m-1)\,$ degrés de liberté.

Cette dernière remarque est à la base du test du χ².

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