Loi multinomiale
La loi binomiale concerne le nombre de succès dans n épreuves de Bernoulli indépendantes donnant chacune un résultat binaire, comme dans le jeu de pile ou face.
Page(s) en rapport avec ce sujet :
- que chaque expérience a la même probabilité de succ`es π. On dit tandis que..... La fonction génératrice des moments de la loi multinomiale est ... (source : mat.ulaval)
- Loi multinomiale événements E\, xi sont des événements £2 sont des événements £, , c'est-à-dire : n\ La loi multinomiale est une loi de probabilité discrète.... (source : books.google)
- théorie de l'information et son application à la loi multinomiale est extrêmement féconde...... gi, g 2 densité de probabilité de la variable transformée... (source : afs-journal)
Multinomiale | |
---|---|
Paramètres | n > 0 nombre d'épreuves (entier) ![]() |
Support | ![]() ![]() |
Densité de probabilité (fonction de masse) | ![]() |
Espérance | E{Xi} = npi |
Variance | Var (Xi) = npi (1 − pi) Cov (Xi, Xj) = − npipj ( ![]() |
Fonction génératrice des moments | ![]() |
La loi binomiale concerne le nombre de succès dans n épreuves de Bernoulli indépendantes donnant chacune un résultat binaire, comme dans le jeu de pile ou face. La loi multinomiale est une généralisation de celle-ci, applicable par exemple à n jets d'un dé à six faces. Au contraire de ces exemples simples, les différentes possibilités ne sont le plus souvent pas équiprobables.
Autre présentation de la loi binomiale
La fonction de probabilité de la variable aléatoire binomiale qui s'écrit

peut se réécrire de manière symétrique en faisant intervenir deux variables dont la somme est égale à n :


Généralisation
Dans le cas multinomial à résultats envisageables au lieu de 2, les variables deviennent
,
et correspondent aux probabilités
,
avec les contraintes

La fonction de probabilité s'écrit alors, sous la condition portant sur la somme des variables :

Chacune des variables reste une variable binomiale dont la moyenne et la variance sont
![E[N_i] = n p_i \quad var[N_i] = n p_i (1-p_i)](illustrations/988203af7057dd3e417efda8c94658c5.png)
tandis que les covariances s'écrivent
![cov[N_i,N_j] = -n p_i p_j\,](illustrations/3e7c4a94f943641353a54e2d661e28d8.png)
Approximation
Quand la variable aléatoire devient assez grande, le théorème de la limite centrale montre qu'elle est raisonnablement approchée par une variable normale à laquelle correspond la variable centrée réduite
.
Si ces variables étaient indépendantes, suivrait une loi du
à
degrés de liberté.
Du fait de la contrainte linéaire qui s'applique, la variable suit une loi du
à
degrés de liberté.
Cette dernière remarque est à la base du test du χ².
Recherche sur Amazon (livres) : |
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 07/04/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.