Loi logarithmique

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Loi de probabilité - Statistiques

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Logarithmique
Paramètres	$0 < p < 1\!$
Support	$k \in \{1,2,3,\dots\}\!$
Densité de probabilité (fonction de masse)	$\frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{\;pˆk}{k}\!$
Fonction de répartition	$1 + \frac{\Beta_p(k+1,0)}{\ln(1-p)}\!$
Espérance	$\frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{p}{1-p}\!$
Mode	$1$
Variance	$-p \;\frac{p + \ln(1-p)}{(1-p)ˆ2\,\lnˆ2(1-p)} \!$
Fonction génératrice des moments	$\frac{\ln(1 - p\,\exp(t))}{\ln(1-p)}\!$
Fonction caractéristique	$\frac{\ln(1 - p\,\exp(i\,t))}{\ln(1-p)}\!$

En Probabilité et en Statistiques, la loi logarithmique est une loi de probabilité discrète, dérivée du développement de Taylor suivant :

$-\ln(1-p) = p + \frac{pˆ2}{2} + \frac{pˆ3}{3} + \cdots.$

pour $0 < p < 1$ . On peut en déduire l'identité qui suit :

$\sum_{k=1}ˆ{\infty} \frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{pˆk}{k} = 1.$

On peut en tirer la loi de probabilité d'une variable aléatoire X distribuée selon une loi logarithmique, notée Log (p) :

$f(k;p) = P(X=k) = \frac{-1}{\ln(1-p)} \; \frac{pˆk}{k}$

pour $k \ge 1$ , et où $0 < p < 1$ .

La fonction de répartition associée est

$F(k) = 1 + \frac{\Beta_p(k+1,0)}{\ln(1-p)}$

où $Β$ est la fonction bêta incomplète.

Un mélange loi de Poisson- loi logarithmique possède une loi binomiale négative : si $N$ est une variable aléatoire tirée selon une loi de Poisson et que $X i$ , $i$ = 1, 2, 3, ... est une série illimitée de variables semblablement et indépendamment distribuées selon une loi Log (p), alors

$\sum_{n=1}ˆN X_i$

est distribuée selon une loi binomiale négative.

Ronald Fisher a utilisé cette loi dans certains modèles de la génétique des populations.

Références

Norman L. Johnson, Adrienne W. Kemp et Samuel Kotz, Univariate Discrete Distributions, Wiley-Interscience, ISBN : 0471272469, chapitre 7 (p. 285-304)

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