Loi inverse-gamma

Dans la Théorie des probabilités et en Statistiques, la distribution inverse-gamma est une famille de lois de probabilité continues à deux paramètres sur la demi-droite des réels positifs.



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Loi de probabilité - Statistiques

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Inverse-gamma
Densité de probabilité / Fonction de masse
Inverse gamma pdf.png
Fonction de répartition
Inverse gamma cdf.png

Paramètres α > 0 paramètre de forme (réel)
β > 0 paramètre d'échelle (réel)
Support x\in(0;\infty)\!
Densité de probabilité (fonction de masse) \frac{\betaˆ\alpha}{\Gamma(\alpha)} xˆ{-\alpha - 1} \exp \left(\frac{-\beta}{x}\right)
Fonction de répartition \frac{\Gamma(\alpha,\beta/x)}{\Gamma(\alpha)} \!
Espérance \frac{\beta}{\alpha-1}\! pour α > 1
Mode \frac{\beta}{\alpha+1}\!
Variance \frac{\betaˆ2}{(\alpha-1)ˆ2(\alpha-2)}\! pour α > 2
Asymétrie (statistique) \frac{4\sqrt{\alpha-2}}{\alpha-3}\! pour α > 3
Kurtosis
(non-normalisé)
\frac{30\,\alpha-66}{(\alpha-3)(\alpha-4)}\! pour α > 4
Entropie \alpha\!+\!\ln(\beta\Gamma(\alpha))\!-\!(1\!+\!\alpha)\psi(\alpha)
Fonction génératrice des moments \frac{2\left(-\beta t\right)ˆ{\!\!\frac{\alpha}{2}}}{\Gamma(\alpha)}K_{\alpha}\left(\sqrt{-4\beta t}\right)
Fonction caractéristique \frac{2\left(-i\beta t\right)ˆ{\!\!\frac{\alpha}{2}}}{\Gamma(\alpha)}K_{\alpha}\left(\sqrt{-4i\beta t}\right)

Dans la Théorie des probabilités et en Statistiques, la distribution inverse-gamma est une famille de lois de probabilité continues à deux paramètres sur la demi-droite des réels positifs. Il s'agit de l'inverse d'une variable aléatoire distribuée selon une Distribution Gamma.


Caractérisation

Densité de probabilité

La Densité de probabilité de la loi inverse-gamma est définie sur le support x > 0 par :


f(x; \alpha, \beta)
= \frac{\betaˆ\alpha}{\Gamma(\alpha)}
(1/x)ˆ{\alpha + 1}\exp\left(-\beta/x\right)

α est un Paramètre de forme et β un paramètre d'intensité, c'est-à-dire l'inverse d'un Paramètre d'échelle.

Fonction de répartition

La Fonction de répartition est la Fonction gamma régularisée :

F(x; \alpha, \beta) = \frac{\Gamma(\alpha,\beta/x)}{\Gamma(\alpha)} \!

où le numérateur est la fonction gamma incomplète et le dénominateur est la Fonction gamma.

Distributions associées

Obtention à partir de la loi Gamma

La densité de la loi gamma est

 f(x) = xˆ{k-1} \frac{eˆ{-x/\theta}}{\thetaˆk \, \Gamma(k)}

et définissons la transformation Y = g(X) = \frac{1}{X}. La densité de la transformée est alors


f_Y(y) = f_X \left( gˆ{-1}(y) \right) \left| \frac{d}{dy} gˆ{-1}(y) \right|

=
\frac{1}{\thetaˆk \Gamma(k)}
\left(
 \frac{1}{y}
\right)ˆ{k-1}
\exp
 \left(
  \frac{-1}{\theta y}
 \right)
\frac{1}{yˆ2}

=
\frac{1}{\thetaˆk \Gamma(k)}
\left(
 \frac{1}{y}
\right)ˆ{k+1}
\exp
 \left(
  \frac{-1}{\theta y}
 \right)

=
\frac{1}{\thetaˆk \Gamma(k)}
yˆ{-k-1}
\exp
 \left(
  \frac{-1}{\theta y}
 \right)

Remplaçant k par α, θ − 1 par β et enfin y par x donne la densité donnée plus haut :


f(x)
=
\frac{\betaˆ\alpha}{\Gamma(\alpha)}
xˆ{-\alpha-1}
\exp
 \left(
  \frac{-\beta}{x}
 \right)


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