Loi exponentielle

Une loi exponentielle correspond au modèle suivant ...



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  • On dit que X suit loi exponentielle de paramètre a.... On dit que la variable aléatoire X définie sur [0;+oo[ suit la loi exponentielle de paramètre a > 0... (source : maths-express)
Exponentielle
Densité de probabilité / Fonction de masse
Densité de probabilité
Fonction de répartition
Fonction de répartition

Paramètres <img class=inverse de l'échelle (réel)
Support [0, \infty[\!
Densité de probabilité (fonction de masse) λe − λx
Fonction de répartition 1 − e − λx
Espérance \dfrac{1}{\lambda}\,
Médiane (centre) \dfrac{\ln(2)}{\lambda}\,
Mode 0\,
Variance \dfrac{1}{\lambdaˆ2}\,
Asymétrie (statistique) 2\,
Kurtosis
(non-normalisé)
9\,
Entropie 1 - \ln(\lambda)\,
Fonction génératrice des moments \left(1 - \dfrac{t}{\lambda}\right)ˆ{-1}\,
Fonction caractéristique \left(1 - \dfrac{it}{\lambda}\right)ˆ{-1}\,

Une loi exponentielle correspond au modèle suivant :

X est une variable aléatoire définissant la durée de vie d'un phénomène. Si l'espérance de vie du phénomène est E (X) et si la durée de vie est sans vieillissement, c'est-à-dire si la durée de vie au-delà de l'instant T est indépendante de l'instant T, alors X a pour densité de probabilité :

On dit que X suit une loi exponentielle de paramètre  \lambda = \dfrac{1}{E(X)}

De façon plus formelle on peut caractériser la loi exponentielle de la façon suivante :

<img class= qui vérifie cette propriété est alors exponentielle et toute loi exponentielle vérifie cette probabilité. Cette propiété traduit l'absence de mémoire de la loi exponentielle. A titre d'exemple, la probabilité qu'un phénomène se produise entre les temps t et t+s s'il ne s'est pas produit avant est la même que la probabilité qu'il se produise entre les temps 0 et s. On peut oublier l'instant de départ pour modéliser la probabilité. Cette caractérisation est importante car elle sert à montrer que certains phénomènes peuvent être modélisés par une distribution exponentielle. Cette loi permet entre autres de modéliser la durée de vie de la radioactivité ou d'un composant électronique.


Calcul de P (X > t)

Si on nomme F (t) la probabilité que la durée de vie soit supérieure à t, le fait que la durée de vie soit sans vieillissement se traduit par l'égalité suivante :

\dfrac{F(T+t)}{F(T)}=F(t)

Puisque la fonction F est monotone et bornée, cette équation implique que F est une fonction exponentielle. Il existe par conséquent k réel tel que pour tout t :

F (t) = ekt.

Notons que k est négatif, puisque F est inférieure à 1. La densité de probabilité f est définie, pour tout t ≥ 0, par :

f (t) = − kekt.

Le calcul de l'espérance de X, qui doit valoir E (X) conduit à l'équation :

\int_0ˆ{+\infty}-kt.\mathrm{e}ˆ{kt}Ð=E(X).

On calcule l'intégrale en intégrant par parties ; on obtient :

k =- \dfrac{1}{E(X)} = -\lambda.

Donc

<img class=

Espérance, variance, écart type, médiane

Densité d'une durée de vie d'espérance 10 de loi exponentielle mais aussi sa médiane.

Si X est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ

Nous savons, par construction, que l'espérance de X est \dfrac{1}{\lambda}.

On calcule la variance en intégrant par parties ; on obtient : \dfrac{1}{\lambdaˆ2}.

L'écart type est par conséquent \dfrac{1}{\lambda}.

La médiane, c'est-à-dire le temps T tel que P (X>T) = 0, 5, est \dfrac{\ln(2)}{\lambda}=E(X)\ln(2).

Champ d'application

Un domaine privilégié de la loi exponentielle est le domaine de la radioactivité (Rutherford et Soddy). Chaque atome radioactif possède une durée de vie qui suit une loi exponentielle. Le paramètre λ se nomme alors la constante de désintégration.

La durée de vie moyenne \dfrac{1}{\lambda} se nomme le temps caractéristique.

La loi des grands nombres sert à dire que la concentration d'atomes radioactifs va suivre la même loi. La médiane \dfrac{\ln(2)}{\lambda} correspond au temps T indispensable pour que la population passe à 50% de sa population d'origine et se nomme la demi-vie ou période.

On modélise aussi souvent la durée de vie d'un composant électronique par une loi exponentielle.

Durée de vie minimale

Si les variables aléatoires X, Y sont indépendantes et suivent deux lois exponentielles de paramètres λ, μ, alors Z = inf (X; Y) est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ + μ.

Cette observation est particulièrement utile pour déterminer l'espérance de vie d'un dispositif constitué de deux composants en série.

Lien avec la loi géométrique

La loi géométrique est une version discrétisée de la loi exponentielle. En conséquence, la loi exponentielle est une limite de lois géométriques renormalisées.

Propriété — Si suit la loi exponentielle d'espérance 1, et si 0, \ " src="http ://upload. wikimedia. org/math/b/1/d/b1dcc13b34c19f241774f5fac296cff2. png" /> alors suit la loi géométrique de paramètre

p\ =\ 1-eˆ{-\ \tfrac{1}{\theta}}.

Notons que, pour un nombre réel sert à désigner la partie entière supérieure de définie par

\lceil x\rceil\ =\ \min\left\{k\in\mathbb{Z}\ |\ k\ge x\right\}.

En choisissant

\theta\ =\ -\tfrac{\lambda}{\ln\left(1-p\right)},

on produit ainsi, à partir d'une variable aléatoire exponentielle de paramètre une variable aléatoire

Yˆ{\prime}=\lceil\theta Xˆ{\prime}\rceil,

suivant une loi géométrique de paramètre arbitraire (avec cependant la contrainte), car suit alors une loi exponentielle de paramètre 1 (et d'espérance 1).

Réciproquement,

Propriété — Si, pour la variable aléatoire suit la loi géométrique de paramètre, et si

<img class=loi exponentielle de paramètre

On peut voir ces différentes convergences comme de simples conséquences de la convergence du schéma de Bernoulli vers le processus de Poisson.

Voir aussi

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