Loi de Student
La loi de Student est une loi de probabilité, faisant intervenir le quotient entre une variable suivant une loi normale centrée réduite et la racine carrée d'une variable distribuée suivant la loi du χ².
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- Par définition, la loi de Student -Fischer à \nu d. o. f. est la loi d'une variable t définie par t=\frac{s}{u} quand u est une variable... (source : douillet)
Loi de Student | |
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Densité de probabilité / Fonction de masse![]() |
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Fonction de répartition![]() |
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Paramètres | k ≥ 1 degrés de liberté, |
Support | ![]() |
Densité de probabilité (fonction de masse) | ![]() |
Fonction de répartition | 1-γ = ƒ (tγk), voir tableau en fin d'article |
Espérance | si k = 1 : non définie
si k > 1 : 0 |
Médiane (centre) | 0 |
Mode | 0 |
Variance | si k ≤ 2 : ![]() si k > 2 : |
Asymétrie (statistique) | 0 pour k > 3 |
La loi de Student est une loi de probabilité, faisant intervenir le quotient entre une variable suivant une loi normale centrée réduite et la racine carrée d'une variable distribuée suivant la loi du χ².
Soit Z une variable aléatoire de loi normale centrée et réduite et soit U une variable indépendante de Z et distribuée suivant la loi du χ² à k degrés de liberté. Par définition la variable
suit une loi de Student à k degrés de liberté.
La densité de notée est donnée par :
pour k ≥ 1.
où Γ est la fonction Gamma d'Euler.
La densité associée à la variable est symétrique, centrée sur 0, en forme de cloche.
Son espérance ne peut pas être définie pour k = 1, et est nulle pour k > 1.
Sa variance est illimitée pour k ≤ 2 et vaut pour k > 2.
Histoire
Le calcul de la distribution de Student a été publié en 1908 par William Gosset lorsqu'il travaillait à la brasserie Guinness à Dublin. Il lui était interdit de publier sous son propre nom, c'est pour cette raison qu'il publia sous le pseudonyme de Student. Le test-t et de la théorie est devenue célèbre grâce aux travaux de Ronald Fisher, qui a qualifié cette distribution de «distribution de Student».
Comportement limite
Quand k est grand, la loi de Student peut être approchée par la loi normale centrée réduite. Une manière simple de le démontrer est d'utiliser le lemme de Scheffé.
Application : intervalle de confiance associé à l'espérance d'une variable de loi normale de variance inconnue
Ce chapitre présente une méthode pour déterminer l'intervalle de confiance de l'estimateur de l'espérance μ d'une loi normale dont la variance σ² est inconnue.
Théorème — L'intervalle de confiance de μ au seuil de confiance α est donné par : ,
avec
, l'estimateur de l'espérance.
, l'estimateur non-biaisé de la variance.
le quantile d'ordre 1-γ de la loi de Student à k degrés de liberté (dont la définition exacte est donnée ci-dessus).
Soient x1, …, x n n variables indépendantes distribuées suivant une même loi normale d'espérance μ (à déterminer) et de variance σ² (inconnue).
Pour parvenir au résultat, il est indispensable d'introduire les variables et s.
Soit
La variable suit la loi normale d'espérance μ et de variance
.
Soit
La variable aléatoire s suit la loi du χ² à n - 1 degrés de liberté.
Remarque : ce résultat utile se démontre à partir de la propriété définissant la loi du χ² comme somme des carrés de variables normales centrées et réduites indépendantes 2 à 2, mais il n'en est pas pour tout autant la conséquence directe : surtout les variables ne sont pas indépendantes entre elles.
Pour n grand, la variance de
tend vers 0, et la valeur d'une réalisation de
forme ainsi une estimation de l'espérance μ, qui est aussi l'espérance de la loi normale suivie par les variables x1, …, x n. Néanmoins, seule la connaissance préalable de la variance σ² de cette loi sert à caractériser un intervalle de confiance pour la variable
.
Par contre, il est envisageable de caractériser un intervalle de confiance rigoureux pour la variable suivante :
avec
En effet, moyennant quelques simplifications, la variable T0 peut se réécrire comme
avec
.
la variable Z suit la loi normale centrée et réduite, et nous avons vu ci-dessus que la variable s suit la loi du χ² à n - 1 degrés de liberté. Qui plus est , il est envisageable de démontrer que Z et s sont indépendantes. Par définition, T0 suit par conséquent la loi de Student à k = n - 1 degrés de liberté.
La distribution de la variable T0 est par conséquent connue indépendamment de σ², et donc les intervalles de confiance qui lui sont associés sont aussi connus. Ainsi, il est envisageable d'obtenir un intervalle de confiance pour μ à partir d'une réalisation des variables x1, …, xn, de laquelle on déduit des valeurs de et S. La suite de ce chapitre détaille la procédure donnant la possibilité la détermination de cet intervalle de confiance.
Pour une variable T suivant la loi de Student à k degrés de liberté, on définit tγk comme
- la quantité telle que la probabilité d'obtenir T > tγk soit égale à γ.
Ceci revient à imposer que 1-γ soit l'image de tγk par la fonction de répartition de la loi de Student. La quantité tγk est aussi nommé le quantile d'ordre 1-γ de la loi de Student à k degrés de liberté (voir tableau des valeurs de tγk ci-dessous).
Dans ce cadre, si tγk > 0, alors la probabilité d'obtenir -tγk < T0 < tγk est égale à 1-2γ.
Or on a
.
La probabilité d'obtenir est elle aussi égale à 1-2γ. Le niveau de confiance α associé à cet intervalle est par conséquent α = 1-2γ.
Le niveau de confiance α correspond à la probabilité que l'espérance μ de la loi normale se trouve au sein de l'intervalle de confiance. Par exemple pour α = 0, 95, on a un niveau de confiance de 95 %, correspondant à γ = (1-α) /2 = 0, 025.
La courbe ci-dessous illustre la notion de niveau de confiance en représentant ce dernier comme une intégrale (aire de la zone en bleu).
Dans la courbe ci-dessus, les frontières entre la zone centrale et les deux zone latérales semblables correspondent à t = tγk et t = -tγk.
En résumé, l'intervalle de confiance de l'espérance μ d'une loi normale de variance quelconque inconnue peut être déterminé à partir des valeurs de n variables indépendantes x1, …, xn suivant toutes cette même loi. Pour un niveau de confiance donné α, cet intervalle est le suivant :
,
avec
,
,
et
- tγk le quantile d'ordre 1-γ de la loi de Student à k degrés de liberté (dont la définition exacte est donnée ci-dessus).
Distributions apparentées
- X˜t (k = 1) suit une Loi de Cauchy :
.
La loi de Student converge en distribution vers la loi normale.
- Si
suit une loi de Student alors X2 suit une loi de Fisher :
- X˜t (k) a une distribution de Student si
suit une loi du χ² inverse (en) et
suit une loi normale.
Tableau des valeurs du quantile
Un tableau des valeurs du quantile selon γ et k est apporté ci-dessous.
ν | 75% | 80% | 85% | 90% | 95% | 97.5% | 99% | 99.5% | 99.75% | 99.9% | 99.95% |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1.000 | 1.376 | 1.963 | 3.078 | 6.314 | 12.71 | 31.82 | 63.66 | 127.3 | 318.3 | 636.6 |
2 | 0.816 | 1.061 | 1.386 | 1.886 | 2.920 | 4.303 | 6.965 | 9.925 | 14.09 | 22.33 | 31.60 |
3 | 0.765 | 0.978 | 1.250 | 1.638 | 2.353 | 3.182 | 4.541 | 5.841 | 7.453 | 10.21 | 12.92 |
4 | 0.741 | 0.941 | 1.190 | 1.533 | 2.132 | 2.776 | 3.747 | 4.604 | 5.598 | 7.173 | 8.610 |
5 | 0.727 | 0.920 | 1.156 | 1.476 | 2.015 | 2.571 | 3.365 | 4.032 | 4.773 | 5.893 | 6.869 |
6 | 0.718 | 0.906 | 1.134 | 1.440 | 1.943 | 2.447 | 3.143 | 3.707 | 4.317 | 5.208 | 5.959 |
7 | 0.711 | 0.896 | 1.119 | 1.415 | 1.895 | 2.365 | 2.998 | 3.499 | 4.029 | 4.785 | 5.408 |
8 | 0.706 | 0.889 | 1.108 | 1.397 | 1.860 | 2.306 | 2.896 | 3.355 | 3.833 | 4.501 | 5.041 |
9 | 0.703 | 0.883 | 1.100 | 1.383 | 1.833 | 2.262 | 2.821 | 3.250 | 3.690 | 4.297 | 4.781 |
10 | 0.700 | 0.879 | 1.093 | 1.372 | 1.812 | 2.228 | 2.764 | 3.169 | 3.581 | 4.144 | 4.587 |
11 | 0.697 | 0.876 | 1.088 | 1.363 | 1.796 | 2.201 | 2.718 | 3.106 | 3.497 | 4.025 | 4.437 |
12 | 0.695 | 0.873 | 1.083 | 1.356 | 1.782 | 2.179 | 2.681 | 3.055 | 3.428 | 3.930 | 4.318 |
13 | 0.694 | 0.870 | 1.079 | 1.350 | 1.771 | 2.160 | 2.650 | 3.012 | 3.372 | 3.852 | 4.221 |
14 | 0.692 | 0.868 | 1.076 | 1.345 | 1.761 | 2.145 | 2.624 | 2.977 | 3.326 | 3.787 | 4.140 |
15 | 0.691 | 0.866 | 1.074 | 1.341 | 1.753 | 2.131 | 2.602 | 2.947 | 3.286 | 3.733 | 4.073 |
16 | 0.690 | 0.865 | 1.071 | 1.337 | 1.746 | 2.120 | 2.583 | 2.921 | 3.252 | 3.686 | 4.015 |
17 | 0.689 | 0.863 | 1.069 | 1.333 | 1.740 | 2.110 | 2.567 | 2.898 | 3.222 | 3.646 | 3.965 |
18 | 0.688 | 0.862 | 1.067 | 1.330 | 1.734 | 2.101 | 2.552 | 2.878 | 3.197 | 3.610 | 3.922 |
19 | 0.688 | 0.861 | 1.066 | 1.328 | 1.729 | 2.093 | 2.539 | 2.861 | 3.174 | 3.579 | 3.883 |
20 | 0.687 | 0.860 | 1.064 | 1.325 | 1.725 | 2.086 | 2.528 | 2.845 | 3.153 | 3.552 | 3.850 |
21 | 0.686 | 0.859 | 1.063 | 1.323 | 1.721 | 2.080 | 2.518 | 2.831 | 3.135 | 3.527 | 3.819 |
22 | 0.686 | 0.858 | 1.061 | 1.321 | 1.717 | 2.074 | 2.508 | 2.819 | 3.119 | 3.505 | 3.792 |
23 | 0.685 | 0.858 | 1.060 | 1.319 | 1.714 | 2.069 | 2.500 | 2.807 | 3.104 | 3.485 | 3.767 |
24 | 0.685 | 0.857 | 1.059 | 1.318 | 1.711 | 2.064 | 2.492 | 2.797 | 3.091 | 3.467 | 3.745 |
25 | 0.684 | 0.856 | 1.058 | 1.316 | 1.708 | 2.060 | 2.485 | 2.787 | 3.078 | 3.450 | 3.725 |
26 | 0.684 | 0.856 | 1.058 | 1.315 | 1.706 | 2.056 | 2.479 | 2.779 | 3.067 | 3.435 | 3.707 |
27 | 0.684 | 0.855 | 1.057 | 1.314 | 1.703 | 2.052 | 2.473 | 2.771 | 3.057 | 3.421 | 3.690 |
28 | 0.683 | 0.855 | 1.056 | 1.313 | 1.701 | 2.048 | 2.467 | 2.763 | 3.047 | 3.408 | 3.674 |
29 | 0.683 | 0.854 | 1.055 | 1.311 | 1.699 | 2.045 | 2.462 | 2.756 | 3.038 | 3.396 | 3.659 |
30 | 0.683 | 0.854 | 1.055 | 1.310 | 1.697 | 2.042 | 2.457 | 2.750 | 3.030 | 3.385 | 3.646 |
40 | 0.681 | 0.851 | 1.050 | 1.303 | 1.684 | 2.021 | 2.423 | 2.704 | 2.971 | 3.307 | 3.551 |
50 | 0.679 | 0.849 | 1.047 | 1.299 | 1.676 | 2.009 | 2.403 | 2.678 | 2.937 | 3.261 | 3.496 |
60 | 0.679 | 0.848 | 1.045 | 1.296 | 1.671 | 2.000 | 2.390 | 2.660 | 2.915 | 3.232 | 3.460 |
80 | 0.678 | 0.846 | 1.043 | 1.292 | 1.664 | 1.990 | 2.374 | 2.639 | 2.887 | 3.195 | 3.416 |
100 | 0.677 | 0.845 | 1.042 | 1.290 | 1.660 | 1.984 | 2.364 | 2.626 | 2.871 | 3.174 | 3.390 |
120 | 0.677 | 0.845 | 1.041 | 1.289 | 1.658 | 1.980 | 2.358 | 2.617 | 2.860 | 3.160 | 3.373 |
![]() |
0.674 | 0.842 | 1.036 | 1.282 | 1.645 | 1.960 | 2.326 | 2.576 | 2.807 | 3.090 | 3.291 |
Remarque : la dernière ligne du tableau ci-dessus correspond aux grandes valeurs de k. C'est un cas limite pour lequel la loi de Student est équivalente à la loi normale centrée et réduite.
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La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 07/04/2010.
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