Loi de Rayleigh

En probabilités et en statistiques, la loi de Rayleigh est une loi de probabilité à densité. Elle apparaît comme la norme d'un vecteur gaussien bi-dimensionnel dont les coordonnées sont indépendantes, centrées et de même variance.



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Loi de probabilité - Statistiques

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Rayleigh
Densité de probabilité / Fonction de masse
Graphique de la densité de la loi de Rayleigh
Fonction de répartition
Plot de la Rayleigh CDF

Paramètres <img class=nombre réel)
Support x\in [0;\infty)
Densité de probabilité (fonction de masse) \frac{x \exp\left(\frac{-xˆ2}{2\sigmaˆ2}\right)}{\sigmaˆ2}
Fonction de répartition 1-\exp\left(\frac{-xˆ2}{2\sigmaˆ2}\right)
Espérance \sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}}
Médiane (centre) \sigma\sqrt{\ln(4)}\,
Mode \sigma\,
Variance \frac{4 - \pi}{2} \sigmaˆ2
Asymétrie (statistique) \frac{2\sqrt{\pi}(\pi - 3)}{(4-\pi)ˆ{3/2}}
Kurtosis
(non-normalisé)
-\frac{6\piˆ2 - 24\pi +16}{(4-\pi)ˆ2}
Entropie 1+\ln\left(\frac{\sigma}{\sqrt{2}}\right)+\frac{\gamma}{2}
Fonction génératrice des moments 1+\sigma t\,eˆ{\sigmaˆ2tˆ2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}
\left(\textrm{erf}\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!+\!1\right)
Fonction caractéristique 1\!-\!\sigma teˆ{-\sigmaˆ2tˆ2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\!\left(\textrm{erfi}\!\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!-\!i\right)

En probabilités et en statistiques, la loi de Rayleigh est une loi de probabilité à densité. Elle apparaît comme la norme d'un vecteur gaussien bi-dimensionnel dont les coordonnées sont indépendantes, centrées et de même variance. Cette loi de probabilité est baptisée selon Lord Rayleigh.

Typiquement, la distance à laquelle une particule se trouve de son point de départ, après avoir effectué n pas d'une marche aléatoire symétrique dans le plan, suit approximativement une loi de Rayleigh de paramètre Dans un tout autre domaine, elle est souvent utilisée pour décrire l'enveloppe d'un processus de Gauss à bande étroite.

La densité de la loi de Rayleigh est

f(x;\sigma) = \frac{x}{\sigmaˆ2} \exp\left(\frac{-xˆ2}{2\sigmaˆ2}\right)

pour x \in [0,\infty).

Propriétés

Les moments sont donnés par :

m_k=\sigmaˆk2ˆ{k/2}\,\Gamma(1+k/2)\,

Γ (z) est la fonction Gamma.

L'espérance et la variance d'une variable aléatoire de Rayleigh X sont les suivantes :

\mathbb{E}[X] = \sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}}\,

et

\textrm{Var}(X) = \frac{4 - \pi}{2} \sigmaˆ2\,.

La skewness est :

\gamma_1=\frac{2\sqrt{\pi}(\pi - 3)}{(4-\pi)ˆ{3/2}}.

La kurtosis est :

\gamma_2=-\frac{6\piˆ2 - 24\pi +16}{(4-\pi)ˆ2}.


La fonction caractéristique est :

\varphi(t):1\!-\!\sigma teˆ{-\sigmaˆ2tˆ2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\!\left(\textrm{erfi}\!\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!-\!i\right)

\operatorname{erfi}(z) est la fonction d'erreur complexe. La transformée de Laplace est

M(t)=\,1+\sigma t\,eˆ{\sigmaˆ2tˆ2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}
\left(\textrm{erf}\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!+\!1\right),

\operatorname{erf}(z) est la fonction d'erreur.

Entropie

L'entropie est


H
=
1
+
\ln\left(\frac{\sigma}{\sqrt{2}}\right)
+
\frac{\gamma}{2}

γ est la constante d'Euler-Mascheroni.

Estimation du paramètre

Étant donné N variable de Rayleigh indépendantes et de même loi de paramètre σ, l'estimateur du maximum de vraisemblance de σ est

\hat{\sigma}=\sqrt{\frac{1}{2N}\sum_{i=1}ˆN X_iˆ2}.

Engendrer des variables de Rayleigh

Étant donné une variable U uniforme sur l'intervalle (0,  1), la variable

X=\sigma\sqrt{-2 \ln(U)}\,

suit la loi de Rayleigh de paramètre σ. Cela provient de la forme de la fonction de répartition, surtout du théorème de la réciproque, et du fait que 1–U a même loi que U.

Lien avec d'autres distributions continues

Lien avec certaines distributions discrètes

Marche aléatoire dans le plan

Trois réalisations de marches aléatoires isotropes sur le réseau (en 10 000 pas). La distance maximale (ou, autant, la distance terminale) sont typiquement de l'ordre de 100 pas.

Notons la distance entre la position d'un marcheur au hasard dans le plan, après n pas au hasard, et son point de départ : converge en loi vers la loi de Rayleigh, ce qui veut dire qu'en parcourant une distance n, le marcheur ne s'éloigne vraiment de son point de départ que de pas approximativement, la convergence vers la loi de Rayleigh servant à préciser cette approximation.

Distance entre deux points au hasard d'un arbre de Cayley aléatoire

Avec la bijection de Joyal, on peut montrer que la loi de la distance entre deux points au hasard d'un arbre de Cayley aléatoire est donnée, pour par

\mathbb{P}\left(D_n=k\right)\ =  \ \frac{(k+1)\times(n)_{\downarrow k+1}}{nˆ{k+2}}.

On peut montrer, par exemple à l'aide du lemme de Scheffé, que converge en loi vers la loi de Rayleigh, ce qui indique que la distance "typique" entre deux points d'un arbre de taille n est de l'ordre de

Points cycliques d'une application

En vertu de la bijection de Joyal, le nombre de points cycliques d'une application de dans, suit la même loi que Ainsi, converge en loi vers la loi de Rayleigh.

Problème des anniversaires

Cette loi discrète apparaît aussi dans des problèmes d'allocations (boules et urnes), dont le fameux problème des anniversaires. Quand on alloue séquentiellement des boules dans un ensemble de n urnes, avec équiprobabilité, ce qui revient à considérer un univers probabiliste le rang de la première boule à être allouée dans une urne non vide suit la même loi que Ainsi, converge en loi vers la loi de Rayleigh.

Pour n=365, s'interprète comme la taille du groupe pour laquelle il devient probable qu'au moins deux membres du groupe ait la même date d'anniversaire (il faut imaginer un groupe dont l'effectif augmente progressivement)  : la probabilité que dans un groupe de personnes, l'ensemble des dates d'anniversaire soit différentes, est approximativement

eˆ{-\alphaˆ2/2}\ =\ \int_{\alpha}ˆ{+\infty}\,f(x;1)\,dx,

et vaut par conséquent 1/2 pour un groupe d'approximativement (soit 22, 5) personnes, ou bien 1/10 pour un groupe d'approximativement (soit 41) personnes. Le calcul exact du premier entier tel que cette probabilité soit plus petite que 1/2 (respectivement 1/10) donne les mêmes résultats : 23 (respectivement 41).


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