Loi de Fisher

Dans la Théorie des probabilités et en Statistiques, la loi de Fisher ou encore loi de Fisher-Snedecor ou encore loi F de Snedecor est une loi de probabilité continue.

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Loi de probabilité - Statistiques

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TAB. 3.1 : Facteur de couverture (loi de Student- Fisher)... Scilab 3.3.4 La distribution cumulative de la loi de student est cdft ('PQ', t, \nu).... (source : douillet)
Il est vrai qu'on ne s'amuse pas à comparer la distribution d'une population observée à la fonction de densité d'une loi de Fisher -Snedecor.... (source : jybaudot)
La distribution du T de Student est symétrique et tend vers une loi normale quand n... On dit que suit une loi de Fisher -Snedecor à degrés de liberté.... (source : mathsv.univ-lyon1)

Fisher-Snedecor
Densité de probabilité / Fonction de masse
Fonction de répartition

Paramètres	$<img class=$ Support	$x \in [0, +\infty[\!$
Densité de probabilité (fonction de masse)	$\frac{\sqrt{\frac{(d_1\,x)ˆ{d_1}\,\,d_2ˆ{d_2}} {(d_1\,x+d_2)ˆ{d_1+d_2}}}} {x\,\mathrm{B}\!\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)}\!$
Fonction de répartition	$I_{\frac{d_1 x}{d_1 x + d_2}}(d_1/2, d_2/2)\!$
Espérance	$\frac{d_2}{d_2-2}\!$ pour $d 2 > 2$
Mode	$\frac{d_1-2}{d_1}\;\frac{d_2}{d_2+2}\!$ pour $d 1 > 2$
Variance	$\frac{2\,d_2ˆ2\,(d_1+d_2-2)}{d_1 (d_2-2)ˆ2 (d_2-4)}\!$ pour $d 2 > 4$
Asymétrie (statistique)	$\frac{(2 d_1 + d_2 - 2) \sqrt{8 (d_2-4)}}{(d_2-6) \sqrt{d_1 (d_1 + d_2 -2)}}\!$ pour $d 2 > 6$
Kurtosis (non-normalisé)	voir texte

Dans la Théorie des probabilités et en Statistiques, la loi de Fisher ou encore loi de Fisher-Snedecor ou encore loi F de Snedecor est une loi de probabilité continue. ^[1]^[2]^[3] Elle tire son nom des statisticiens Ronald Aylmer Fisher et George W. Snedecor. La loi de Fisher survient particulièrement souvent comme distribution de l'hypothèse nulle dans des tests statistiques, comme par exemple les tests du ratio de vraisemblance ou encore dans l'analyse de la variance (F-test).

Caractérisation

Une variable aléatoire réelle distribuée selon la loi de Fisher peut être définie comme le quotient de deux variables aléatoires indépendantes, distribuées selon une loi du χ² :

$\frac{U_1/d_1}{U_2/d_2}$

avec U₁ et U₂ ayant respectivement d₁ et d₂ degrés de liberté.

La densité de probabilité d'une loi de Fisher, F (d₁, d₂), est donnée par

$f(x) = \frac{\left(\frac{d_1\,x}{d_1\,x + d_2}\right)ˆ{d_1/2} \; \left(1-\frac{d_1\,x}{d_1\,x + d_2}\right)ˆ{d_2/2}}{x\; \mathrm{B}(d_1/2, d_2/2)}$

pour tout réel x ≥ 0, où d₁ et d₂ sont des entiers positifs et B est la fonction bêta.

La fonction de répartition associée est $F(x)=I_{\frac{d_1 x}{d_1 x + d_2}}(d_1/2, d_2/2)$

où I est la fonction bêta incomplète régularisée.

L'espérance, la variance valent respectivement

$\frac{d_2}{d_2-2}\!$

pour $d 2 > 2$ et

$\frac{2\,d_2ˆ2\,(d_1+d_2-2)}{d_1 (d_2-2)ˆ2 (d_2-4)}\!$

pour $d 2 > 4$ . Pour $d 2 > 8$ , le kurtosis est

$\frac{20d_2-8d_2ˆ2+d_2ˆ3+44d_1-32d_1d_2+A}{d_1(d_2-6)(d_2-8)(d_1+d_2-2)/12}$

où $A=5d_2ˆ2d_1-22d_1ˆ2+5d_2d_1ˆ2-16.$

Généralisation

Une généralisation de la loi de Fisher est la loi de Fisher non centrée.

Distributions associées et propriétés

Si $\ X \sim \mathrm{F}(\nu_1, \nu_2)$ alors $Y = \lim_{\nu_2 \to \infty} \nu_1 X$ est distribuée selon une loi du χ² $\chiˆ2_{\nu_{1}}$ ;
La loi $F (ν 1, ν 2)$ est équivalente à la loi T-square de Hotelling's $(\nu_1(\nu_1+\nu_2-1)/\nu_2)\operatorname{T}ˆ2(\nu_1,\nu_1+\nu_2-1)$ ;
Si $X \sim \operatorname{F}(\nu_1,\nu_2),$ alors $\frac{1}{X} \sim F(\nu_2,\nu_1)$ ;
Si $X \sim \mathrm{t}(\nu)\!$ est distribuée selon une loi de Student alors $Xˆ2 \sim \operatorname{F}(1, \nu)$ ;
Si $X \sim \operatorname{F}(\nu_1,\nu_2)$ et $Y=\frac{\nu_1 X/\nu_2}{1+\nu_1 X/\nu_2}$ alors $Y \sim \operatorname{Beta}(\nu_1/2,\nu_2/2)$ est distribuée selon une loi bêta;
Si $\operatorname{Q}_X(p)$ est le quantile d'ordre $p$ pour $X\sim \operatorname{F}(\nu_1,\nu_2)$ et que $\operatorname{Q}_Y(p)$ est le quantile d'ordre $p$ pour $Y\sim \operatorname{F}(\nu_2,\nu_1)$ alors $\operatorname{Q}_X(p)=1/\operatorname{Q}_Y(p)$ .

Références

↑ (en) Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Dover Publications, New York, 1972 (ISBN 978-0-486-61272-0)
↑ NIST (2006). Engineering Statistics Handbook - F Distribution
↑ (en) Alexander Mood, Introduction to the Theory of Statistics (Third Edition, p. 246-249) , McGraw-Hill (ISBN 0-07-042864-6)

Liens externes

Table of critical values of the F-distribution
Online significance testing with the F-distribution
Distribution Calculator pour calculer les probabilités et les valeurs critiques des lois normales, de Student, du Chi-deux et de la loi de Fisher
Cumulative distribution function (CDF) calculator for the Fisher F-distribution
Probability density function (PDF) calculator for the Fisher F-distribution

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