Loi de Cauchy

La loi de Cauchy, nommée aussi loi de Lorentz, est une loi de probabilité classique qui doit son nom au mathématicien Augustin Louis Cauchy.

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Loi de probabilité - Statistiques

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Cauchy
Densité de probabilité / Fonction de masse
Fonction de répartition Les couleurs correspondent au graphe préécédent

Paramètres	$x_0\!$ Paramètre de location (réel) $<img class=$ Paramètre d'échelle (réel)
Support	$x \in (-\infty; +\infty)\!$
Densité de probabilité (fonction de masse)	$\frac{1}{\pi a\,\left[1 + \left(\frac{x-x_0}{a}\right)ˆ2\right]} \!$
Fonction de répartition	$\frac{1}{\pi} \arctan\left(\frac{x-x_0}{a}\right)+\frac{1}{2}$
Espérance	non définie
Médiane (centre)	$x 0$
Mode	$x 0$
Variance	non définie
Asymétrie (statistique)	non définie
Kurtosis (non-normalisé)	non définie
Entropie	$\ln(4\,\pi\,a)\!$
Fonction génératrice des moments	non définie
Fonction caractéristique	$\exp(x_0\,i\,t-a\,\|t\|)\!$

La loi de Cauchy, nommée aussi loi de Lorentz, est une loi de probabilité classique qui doit son nom au mathématicien Augustin Louis Cauchy.

Une variable aléatoire X suit une loi de Cauchy si elle admet une densité $f X$ comparé à la mesure de Lebesgue, dépendant des deux paramètres $x 0$ et $a$ (a > 0) et définie par :

$\begin{align} f(x; x_0,a) &= \frac{1}{\pi a \left[1 + \left(\frac{x-x_0}{a}\right)ˆ2\right]} \\[0ˆm] &= { 1 \over \pi } \left[ { a \over (x - x_0)ˆ2 + aˆ2 } \right] \end{align}$

Cette distribution est symétrique comparé à $x 0$ (Paramètre de location), le paramètre $a$ donnant une information sur l'étalement de la fonction (Paramètre d'échelle).

Le quotient de deux variables aléatoires réelles indépendantes suivant des lois normales standards suit une loi de Cauchy.

Espérance et écart type

La loi de Cauchy n'admet ni espérance ni écart type. Et il en va de même pour tout moment d'ordre supérieur. En effet,

$x \mapsto \frac{a}{\pi}\frac{x}{(x-x_0)ˆ2+aˆ2}\,$ n'est pas intégrable au sens de Lebesgue

car $\left|\frac{x}{(x-x_0)ˆ2+aˆ2}\right| \sim \left|\frac{1}{x}\right|$ (à l'infini) d'où la divergence de l'intégrale : l'espérance n'existe pas.

A fortiori, la loi de Cauchy n'admet pas d'écart type ( $\int_{-\infty}ˆ{+\infty} \frac{a}{\pi}\frac{xˆ2}{(x-x_0)ˆ2+aˆ2}\, dx$ diverge). Pour la même raison, les moments d'ordre supérieur n'existent pas non-plus.

Cependant, $x 0$ , qui en est la médiane, est fréquemment reconnu comme la "moyenne" de la loi de Cauchy, car :

$\lim_{R \mapsto \infty} \int_{-R}ˆR \frac{a}{\pi}\frac{x}{(x-x_0)ˆ2+aˆ2}\, dx = x_0$

Loi de Cauchy et théorèmes limite

Moyenne empirique d'une série de valeurs suivant la loi de Cauchy.

La loi de Cauchy est l'une de celles auxquelles la Loi des grands nombres ne s'applique pas : partant d'un échantillon d'observations $x_1, x_2, \cdots, x_n$ issues d'une loi de Cauchy, la moyenne empirique

$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}ˆn x_i$

ne converge pas vers une quantité déterministe (à savoir l'espérance de la loi). Au contraire, cette moyenne reste aléatoire : elle est elle-même distribuée selon une loi de Cauchy.

Elle nous montre mais aussi la condition de l'espérance définie selon l'intégrale de Lebesgue est indispensable à l'application de la loi. On remarque que les valeurs moyennes s'approchent de $x o$ mais il arrive toujours un moment où une valeur trop éloignée "empêche" la moyenne de converger. La probabilité d'obtenir des valeurs éloignées de $x 0$ est en fait trop élevée pour permettre à la moyenne empirique de converger.

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