Loi de Cauchy
La loi de Cauchy, nommée aussi loi de Lorentz, est une loi de probabilité classique qui doit son nom au mathématicien Augustin Louis Cauchy.
Page(s) en rapport avec ce sujet :
- De même, le calcul fait dans 1.59montre qu'une loi de Cauchy de densité f_X (x) =\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle a pour fonction caractéristique... (source : proba.jussieu)
- Une variable aléatoire continue X suit une loi de Cauchy, de paramètres... lois de Cauchy pour illustrer l'allure de la densité suivant les paramètres.... (source : nobelis)
- Propriétés de quelques lois totalements continues.... Fonction génératrice des moments : n'existe pas! Loi de Laplace... Loi de Cauchy... (source : bibmath)
Cauchy | |
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Densité de probabilité / Fonction de masse![]() |
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Fonction de répartition![]() Les couleurs correspondent au graphe préécédent |
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Paramètres | ![]() |
Support | ![]() |
Densité de probabilité (fonction de masse) | ![]() |
Fonction de répartition | ![]() |
Espérance | non définie |
Médiane (centre) | x0 |
Mode | x0 |
Variance | non définie |
Asymétrie (statistique) | non définie |
Kurtosis (non-normalisé) |
non définie |
Entropie | ![]() |
Fonction génératrice des moments | non définie |
Fonction caractéristique | ![]() |
La loi de Cauchy, nommée aussi loi de Lorentz, est une loi de probabilité classique qui doit son nom au mathématicien Augustin Louis Cauchy.
Une variable aléatoire X suit une loi de Cauchy si elle admet une densité fX comparé à la mesure de Lebesgue, dépendant des deux paramètres x0 et a (a > 0) et définie par :
Cette distribution est symétrique comparé à x0 (Paramètre de location), le paramètre a donnant une information sur l'étalement de la fonction (Paramètre d'échelle).
Le quotient de deux variables aléatoires réelles indépendantes suivant des lois normales standards suit une loi de Cauchy.
Espérance et écart type
La loi de Cauchy n'admet ni espérance ni écart type. Et il en va de même pour tout moment d'ordre supérieur. En effet,
n'est pas intégrable au sens de Lebesgue
car (à l'infini) d'où la divergence de l'intégrale : l'espérance n'existe pas.
A fortiori, la loi de Cauchy n'admet pas d'écart type ( diverge). Pour la même raison, les moments d'ordre supérieur n'existent pas non-plus.
Cependant, x0, qui en est la médiane, est fréquemment reconnu comme la "moyenne" de la loi de Cauchy, car :
Loi de Cauchy et théorèmes limite


La loi de Cauchy est l'une de celles auxquelles la Loi des grands nombres ne s'applique pas : partant d'un échantillon d'observations issues d'une loi de Cauchy, la moyenne empirique
ne converge pas vers une quantité déterministe (à savoir l'espérance de la loi). Au contraire, cette moyenne reste aléatoire : elle est elle-même distribuée selon une loi de Cauchy.
Elle nous montre mais aussi la condition de l'espérance définie selon l'intégrale de Lebesgue est indispensable à l'application de la loi. On remarque que les valeurs moyennes s'approchent de xo mais il arrive toujours un moment où une valeur trop éloignée "empêche" la moyenne de converger. La probabilité d'obtenir des valeurs éloignées de x0 est en fait trop élevée pour permettre à la moyenne empirique de converger.
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