Loi bêta

Dans la théorie des probabilités et en statistiques, la loi bêta est une famille de lois de probabilités continues, définies sur, paramétrisée par deux paramètres de forme, typiquement notés α et β.

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Loi de probabilité - Statistiques

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Beta
Densité de probabilité / Fonction de masse
Fonction de répartition

Paramètres
Support	$x \in [0; 1]\!$
Densité de probabilité (fonction de masse)	$\frac{xˆ{\alpha-1}(1-x)ˆ{\beta-1}} {\mathrm{B}(\alpha,\beta)}\!$
Fonction de répartition	$I_x(\alpha,\beta)\!$
Espérance	$\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\!$
Mode	$\frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\!$ pour $α > 1, β > 1$
Variance	$\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)ˆ2(\alpha+\beta+1)}\!$
Asymétrie (statistique)	$\frac{2\,(\beta-\alpha)\sqrt{\alpha+\beta+1}}{(\alpha+\beta+2)\sqrt{\alpha\beta}}$
Kurtosis (non-normalisé)	see text
Entropie	see text
Fonction génératrice des moments	$1 +\sum_{k=1}ˆ{\infty} \left( \prod_{r=0}ˆ{k-1} \frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r} \right) \frac{tˆk}{k!}$
Fonction caractéristique	${}_1F_1(\alpha; \alpha+\beta; i\,t)\!$

Dans la théorie des probabilités et en statistiques, la loi bêta est une famille de lois de probabilités continues, définies sur [0, 1], paramétrisée par deux paramètres de forme, typiquement notés α et β. C'est un cas spécial de la distribution de Dirichlet, avec uniquement deux paramètres.

Caractérisation

Fonction de densité

La Densité de probabilité de la loi bêta est :

$f(x;\alpha,\beta) = \frac{xˆ{\alpha-1}(1-x)ˆ{\beta-1}}{\int_0ˆ1 uˆ{\alpha-1} (1-u)ˆ{\beta-1}\, du} \!$

$= \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\, xˆ{\alpha-1}(1-x)ˆ{\beta-1}\!$

$= \frac{1}{\mathrm{B}(\alpha,\beta)}\, x ˆ{\alpha-1}(1-x)ˆ{\beta-1}\!$

où $Γ$ est la Fonction gamma. La Fonction bêta, B, apparaît comme une constante de normalisation, permettant à la densité de s'intégrer à l'unité.

Fonction de répartition

La Fonction de répartition est

$F(x;\alpha,\beta) = \frac{\mathrm{B}_x(\alpha,\beta)}{\mathrm{B}(\alpha,\beta)} = I_x(\alpha,\beta) \!$

où $B x (α, β)$ est la fonction bêta incomplète et $I x (α, β)$ est la fonction bêta incomplète régularisée.

Propriétés

Moments

L'espérance et la variance d'une Variable aléatoire bêta de paramètres α et β sont donnés par la formule :

$\begin{align} \operatorname{E}(X) = & \frac{\alpha}{\alpha+\beta} \\ \operatorname{Var}(X) = & \frac{\alpha \beta}{(\alpha+\beta)ˆ2(\alpha+\beta+1)} \end{align}$

L'asymétrie est

$\frac{2 (\beta - \alpha) \sqrt{\alpha + \beta + 1} } {(\alpha + \beta + 2) \sqrt{\alpha \beta}}. \,\!$

Le cœfficient d'aplatissement (ou encore kurtosis) est :

$6\,\frac{\alphaˆ3-\alphaˆ2(2\beta-1)+\betaˆ2(\beta+1)-2\alpha\beta(\beta+2)} {\alpha \beta (\alpha+\beta+2) (\alpha+\beta+3)}.\,\!$

Formes

La densité de la loi bêta peut prendre différentes formes selon les valeurs des deux paramètres :

$\alpha < 1,\ \beta < 1$ est en forme de U (graphe rouge) ;
$\alpha < 1,\ \beta \geq 1$ ou $<img class=$ convexe;
$\alpha = 1,\ \beta = 2$ est une droite;
$\alpha = 1,\ 1 < \beta < 2$ est strictement concave;

$\alpha = 1,\ \beta = 1$ est la Loi uniforme continue;

$\alpha = 1,\ \beta < 1$ ou $<img class=$ est une droite;

$1 < \alpha < 2,\ \beta = 1$ est strictement concave;

$<img class=$ α = β alors la densité est symétrique autour de 1/2 (graphes rouge et violet).

Estimation des paramètres

Soit la moyenne empirique

$\bar{x} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}ˆN x_i$

$v = \frac{1}{N}\sum_{i=1}ˆN (x_i - \bar{x})ˆ2$

la variance. La méthode des moments apporte les estimations suivantes :

$\alpha = \bar{x} \left(\frac{\bar{x} (1 - \bar{x})}{v} - 1 \right),$

$\beta = (1-\bar{x}) \left(\frac{\bar{x} (1 - \bar{x})}{v} - 1 \right).$

Distributions associées

Si X a une distribution bêta, alors T=X/ (1-X) est distribué selon la distribution bêta du second type;
La loi Beta (1, 1) est semblable à la Loi uniforme continue;
Si X et Y sont indépendamment distribués selon une loi Gamma, de paramètres (α, θ) et (β, θ) respectivement, alors X / (X + Y) est distribué selon une loi Beta (α, β) ;
Si $X \sim {\rm U}(0, 1]\,$ selon une loi uniforme, alors $Xˆ2 \sim {\rm Beta}(1/2,1) \$ .
La k-ème statistique d'ordre d'un n-échantillon de lois uniformes $\ {\rm U}(0, 1]\,$ suit la loi ${\rm Beta}(k,n-k+1) \$ .

Liens externes

"Beta Distribution" by Fiona Maclachlan, The Wolfram Demonstrations Project, 2007.
Beta Distribution - Overview and Example, xycoon. com
Beta Distribution, brighton-webs. co. uk

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