Loi bêta
Dans la théorie des probabilités et en statistiques, la loi bêta est une famille de lois de probabilités continues, définies sur, paramétrisée par deux paramètres de forme, typiquement notés α et β.
Page(s) en rapport avec ce sujet :
- La loi bêta est fréquemment utilisée en analyse du risque pour... la fonction de répartition (fonction BETA. INVERSE) appliquée au résultat de la fonction... (source : www-rocq.inria)
- La fonction de densité de la loi beta est définie entre 0 et 1, elle est tr`es flexible. 11.1 a = 1, b = 1. La fonction de densité de la loi beta est la même... (source : pbil.univ-lyon1)
- Yi) = (θ/κ) ˆτ suit la loi beta de seconde espèce β (np, nq). La densité de la loi beta est donnée par : fβ (np, nq) (x) = Γ (np + nq). Γ (np) Γ (nq)... (source : lsta.upmc)
Beta | |
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Densité de probabilité / Fonction de masse![]() |
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Fonction de répartition![]() |
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Paramètres | |
Support | ![]() |
Densité de probabilité (fonction de masse) | ![]() |
Fonction de répartition | ![]() |
Espérance | ![]() |
Mode | ![]() |
Variance | ![]() |
Asymétrie (statistique) | ![]() |
Kurtosis (non-normalisé) |
see text |
Entropie | see text |
Fonction génératrice des moments | ![]() |
Fonction caractéristique | ![]() |
Dans la théorie des probabilités et en statistiques, la loi bêta est une famille de lois de probabilités continues, définies sur [0, 1], paramétrisée par deux paramètres de forme, typiquement notés α et β. C'est un cas spécial de la distribution de Dirichlet, avec uniquement deux paramètres.
Caractérisation
Fonction de densité
La Densité de probabilité de la loi bêta est :
où Γ est la Fonction gamma. La Fonction bêta, B, apparaît comme une constante de normalisation, permettant à la densité de s'intégrer à l'unité.
Fonction de répartition
La Fonction de répartition est
où Bx (α, β) est la fonction bêta incomplète et Ix (α, β) est la fonction bêta incomplète régularisée.
Propriétés
Moments
L'espérance et la variance d'une Variable aléatoire bêta de paramètres α et β sont donnés par la formule :
L'asymétrie est
Le cœfficient d'aplatissement (ou encore kurtosis) est :
Formes
La densité de la loi bêta peut prendre différentes formes selon les valeurs des deux paramètres :
est en forme de U (graphe rouge) ;
ou
convexe;
est une droite;
est strictement concave;




Estimation des paramètres
Soit la moyenne empirique
et
la variance. La méthode des moments apporte les estimations suivantes :
Distributions associées
- Si X a une distribution bêta, alors T=X/ (1-X) est distribué selon la distribution bêta du second type;
- La loi Beta (1, 1) est semblable à la Loi uniforme continue;
- Si X et Y sont indépendamment distribués selon une loi Gamma, de paramètres (α, θ) et (β, θ) respectivement, alors X / (X + Y) est distribué selon une loi Beta (α, β) ;
- Si
selon une loi uniforme, alors
.
- La k-ème statistique d'ordre d'un n-échantillon de lois uniformes
suit la loi
.
Liens externes
- "Beta Distribution" by Fiona Maclachlan, The Wolfram Demonstrations Project, 2007.
- Beta Distribution - Overview and Example, xycoon. com
- Beta Distribution, brighton-webs. co. uk
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