Kurtosis

En théorie des probabilités et en statistiques, le kurtosis, plus fréquemment traduit par cœfficient d'aplatissement, ou cœfficient d'aplatissement de Pearson, correspond à une mesure de l'aplatissement, ou a contrario de la pointicité, de...



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En théorie des probabilités et en statistiques, le kurtosis (mot d'origine grec), plus fréquemment traduit par cœfficient d'aplatissement, ou cœfficient d'aplatissement de Pearson, correspond à une mesure de l'aplatissement, ou a contrario de la pointicité, de la distribution d'une variable aléatoire réelle. C'est la seconde des caractéristiques de forme, avec le cœfficient de dissymétrie. Elle mesure, hors effet de dispersion (donnée par l'écart-type), la disposition des masses de probabilité autour de leur centre, tel que donné par l'espérance mathématique, c'est-à-dire d'une certaine façon, leur regroupement proche ou loin du centre de probabilité.

Définition

Etant donné une variable aléatoire réelle X d'espérance μ et d'écart-type σ, on définit son kurtosis comme

\beta_2 = \mathbb{E}\left[\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)ˆ4\right]

quand cette espérance existe.

La variance de la variable \left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)ˆ2 étant un nombre positif, le kurtosis est encore plus grand que 1. Pour une variable aléatoire suivant une loi normale, ce cœfficient d'aplatissement vaut 3.

Un cœfficient d'aplatissement élevé indique que la distribution est plutôt pointue en sa moyenne, et des queues de distribution épaisses (fat tails en anglais). Ceci s'intuite par l'approche alternative suivante : en effet, une autre manière d'exprimer ce cœfficient est de considérer les contributions élémentaires au moment d'inertie de la variable aléatoire ; notons cette dernière X. Cela revient à s'intéresser à la distribution de \left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)ˆ2. En moyenne ce paramètre vaut 1, par construction. Son moment d'ordre 2 est le cœfficient d'aplatissement. Comme son espérance mathématique est fixée, son moment d'ordre 2 ne peut évoluer que par compensation : pour l'augmenter, il faut de l'inertie en position éloignée, contrebalancée par de l'inertie proche. Du point de vue typologie, si β2 > 3, on parle de distribution leptokurtique. La notion de leptokurtosis est particulièrement utilisée dans le milieu de la finance de marché, les échantillons ayant des queues plus épaisses que la normale aux extrémités, impliquant des valeurs anormales plus fréquentes[1]

À l'opposé, un cœfficient d'aplatissement proche d'un indique une distribution assez aplatie pour une même variance. Si β2 < 3, on parlera de distribution platikurtique.

Et pour boucler cet aspect de typologie, si β2 = 3, on parle de distribution mésokurtique.

L'excès d'aplatissement

On normalise quelquefois le cœfficient d'aplatissement en lui soustrayant la valeur correspondant à la loi normale centrée réduite, à savoir 3 : \gamma_2=\frac{\mu_4}{\sigmaˆ4} - 3 \!\mu_4= \mathbb{E}\left[{\left( X-\mu \right)}ˆ4\right].

Cet excès d'aplatissement, kurtosis excess en anglais, est source d'ambiguïté. Avec cette nouvelle acception, un excès d'aplatissement positif correspond à une distribution pointue et un excès d'aplatissement négatif à une distribution aplatie. Un excès d'aplatissement nul correspond à une distribution quasi-normale, d'autant mieux qu'elle sera symétrique (cœfficient de dissymétrie proche de 0).

Estimateur non biaisé

Les définitions théoriques β2 et γ2 du cœfficient d'aplatissement sont des mesures biaisées. Plusieurs logiciels de statistiques (SAS, Tanagra, Minitab, PSPP/SPSS et Excel par exemple) utilisent un estimateur non biaisé pour la loi normale :

G_2 = \frac{(n+1)\,n}{(n-1)\,(n-2)\,(n-3)} \; \sum_{i=1}ˆn \left( \frac {x_i - \bar{x}} \sigma \right) ˆ4 - 3\,\frac{(n-1)ˆ2}{(n-2) (n-3)} \!

avec σ un estimateur non biaisé de l'écart-type.

Exemples de quelques distributions

Standard symmetric pdfs.png

La figure suivante représente quelques distributions unimodales de moyennes et de cœfficient de dissymétrie nuls.

Loi de probabilité Excès d'aplatissement Symbole dans la figure Couleur dans la figure
Loi de Laplace 3 D Courbe rouge
2 S Courbe orange
Loi logistique 1, 2 L Courbe verte
Loi normale 0 N Courbe noire
en :Raised cosine distribution -0, 593 C Courbe cyan
-1 W Courbe bleue
Loi uniforme continue -1, 2 U Courbe magenta

Notes et références

  1. Régis Bourbonnais & Michel Terraza, Analyse des séries temporelles, 2e édition, Dunod, 2008, p. 296

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