Indice de Theil

L'indice de Theil est un indice de mesure d'inégalité fondé sur l'entropie de Shannon.

Formule

Illustration de la relation entre l'indice de Theil T et l'indice de Hoover H (différence T-H et quotient T/H) pour des sociétés divisées en deux quantiles, ou A% des peuples ont B% des ressources et B% des peuples ont A% de l'ensemble des ressources. A+B=100%. Pour de telles sociétés, l'indice de Hoover et le cœfficient de Gini sont les mêmes mesures. $T=T_T=T_L=T_s = 2 H \, \operatorname{argtanh} \left( H \right)\,$

Formule^[2] pour l'indice de Theil $\displaystyle{} T$ :

$N$ : Nombre des quantiles
$E i$ : ressources pour le quantile i,
$A i$ : effectif dans le quantile i,
$E total$ : ressources pour l'ensemble des quantiles dans une société (une nation, etc. ),
$A total$ : effectif de la société (de la nation, etc. ).

$T_T = \ln{\frac{{A}_\mathrm{total}}{{E}_\mathrm{total}}} - \frac{\sum_{i=1}ˆN {{E}_i} \ln{\frac{{A}_i}{{E}_i}}}{{E}_\mathrm{total}}$

En cas de $E' i = E i / E total$ et $A' i = A i / A total$ :

$\color{Gray} T_T = 0 - \frac{\sum_{i=1}ˆN {{E}'_i} \ln{\frac{{A}'_i}{{E}'_i}}}{1} = \sum_{i=1}ˆN {{E}'_i} \ln{\frac{{E}'_i}{{A}'_i}}$

C'est l'inégalité par référence aux ressources. La partie à gauche est l'entropie maximale (aussi par référence aux ressources) d'une société sans inégalité distributive. Le partie à droite est l'entropie actuelle de la société, causée par l'inégalité distributive de cette société. Par référence à la théorie de l'information^[3], une telle différence est la redondance.

L'inégalité par référence à la population :

$T_L = \ln{\frac{{E}_\mathrm{total}}{{A}_\mathrm{total}}} - \frac{\sum_{i=1}ˆN {{A}_i} \ln{\frac{{E}_i}{{A}_i}}}{{A}_\mathrm{total}}$

En cas de $E' i = E i / E total$ et $A' i = A i / A total$ :

$\color{Gray} T_L = 0 - \frac{\sum_{i=1}ˆN {{A}'_i} \ln{\frac{{E}'_i}{{A}'_i}}}{1} = \sum_{i=1}ˆN {{A}'_i} \ln{\frac{{A}'_i}{{E}'_i}}$

L'opération^[4] pour normalizer les indices de Theil est $\displaystyle 1 - eˆ{-T}$

L'indice de Theil et indice de Hoover

La moyenne de ces deux formules^[5] est un indice symétrique :

$T_s = {\frac{1}{2}} \sum_{i=1}ˆN \color{Blue} \ln \frac{E_i}{A_i} \left( \color{Black} \frac{{E}_i}{E_\text{total}} - \frac{A_i}{A_\text{total}} \color{Blue} \right) \color{Black}$

La moyenne est particulièrement convenable par comparaison avec le plus simple des indices d'inégalité : l'indice de Hoover. La différence est indiquée par la couleur bleue.

$H = \frac{1}{2} \sum_{i=1}ˆN \color{Blue} \left| \color{Black} \frac{E_i}{E_\text{total}} - \frac{A_i}{A_\text{total}} \color{Blue} \right| \color{Black}$

Decomposition

Si pour les sous-groupes $k$ les sous-indices de Theil sont connus :

$T_T = \ln{\frac{{A}_\mathrm{total}}{{E}_\mathrm{total}}} - \frac{\sum_{i=1}ˆN {{E}_i} \left( \ln{\frac{{A}_i}{{E}_i}} - T_{T_i}\right)}{{E}_\mathrm{total}}$

$T_L = \ln{\frac{{E}_\mathrm{total}}{{A}_\mathrm{total}}} - \frac{\sum_{i=1}ˆN {{A}_i} \left( \ln{\frac{{E}_i}{{A}_i}} - T_{L_i}\right)}{{A}_\mathrm{total}}$

$T_s = {\frac{1}{2}} \sum_{i=1}ˆN \ln \frac{E_i}{A_i} \left( \frac{{E}_i}{E_\text{total}} - \frac{A_i}{A_\text{total}} \right) + \frac{{E}_i}{E_\text{total}} T_{T_i} + \frac{{A}_i}{A_\text{total}} T_{L_i}$

Fonction de bien-être

Il est envisageable de calculer la fonction de bien-être (welfare function) proposée par Amartya Sen et James A. Foster (1996) ^[6] par cette formule :

$W_\mathrm{Theil-L} = \overline {revenu} \cdot \mathrm{e}ˆ{-T_L} = \frac {E_\mathrm{total}}{A_\mathrm{total}} \text{ } \mathrm{e}ˆ{-T_L} = \mathrm{e}ˆ{\frac{\sum_{i=1}ˆN {{A}_i} \left( \ln{\frac{{E}_i}{{A}_i}} - T_{L_i}\right)}{{A}_\mathrm{total}}} = \prod_{i=1}ˆN \left( \frac{{E}_i}{{A}_i} \text{ } \mathrm{e}ˆ{-T_{L_i}} \right)ˆ{\frac{{A}_i}{{A}_\mathrm{total}}}$

Le revenu moyen d'une personne dans une société dont les revenus sont inégaux ne décrit pas le revenu $E i$ de la majorité des citoyens. La fonction de bien-être peut remplacer la médiane. La valeur de la fonction de bien-être est encore plus petite que le revenu moyen.

Si on prend un € du revenu total de cette société, cet € sera part d'un revenu $E i$ plus grand que le revenu moyen :

$Wˆ{-1}_\mathrm{Theil-T} = \overline {revenu} \cdot \mathrm{e}ˆ{T_T} = \frac {E_\mathrm{total}}{A_\mathrm{total}} \text{ } \mathrm{e}ˆ{T_T} = \mathrm{e}ˆ{\frac{\sum_{i=1}ˆN {{E}_i} \left( \ln{\frac{{E}_i}{{A}_i}} + T_{T_i}\right)}{{E}_\mathrm{total}}} = \prod_{i=1}ˆN \left( \frac{{E}_i}{{A}_i} \text{ } \mathrm{e}ˆ{T_{T_i}} \right)ˆ{\frac{{E}_i}{{E}_\mathrm{total}}}$

Références

↑ Exemple (voir aussi : Loi de Pareto) : 82, 4 % des peuples ont 17, 6 % des ressources et 17, 6 % des peuples ont 82, 4 % de l'ensemble des ressources : http ://www. poorcity. richcity. org/calculator/?quantiles=82.4, 17.6|17.6, 82.4
↑ E et A sont utilisés comme tels par Lionnel Maugis : Inequality Measures in Mathematical Programming for the Air Traffic Flow Management Problem with En-Route Capacities (pour IFORS 96), 1996 (CENA - Centre d'études de la Navigation Aérienne, France)
↑ ISO/IEC DIS 2382-16 :1996
↑ Juana Domínguez-Domínguez, José Javier Núñez-Velázquez : The Evolution of Economic Inequality in the EU Countries During the Nineties, 2005
↑ Elhanan Helpman : The Mystery of Economic Growth, 2004, ISBN 0-674-01572-X (Ces deux formules pour $T T$ et $T L$ sont identiques aux formules page 150. )
↑ James E. Foster und Amartya Sen, 1996, On Economic Inequality, expanded edition with annexe, page 129, ISBN 0-19-828193-5

Voir aussi

Henri Theil

Littérature

Amiel, Y. : Thinking about inequality, Cambridge 1999.
Cowell, Frank A. (2002, 2003) : Theil, Inequality and the Structure of Income Distribution, London School of Economics and Political Sciences (sur la classe des indices de Kolm)
Sen, Amartya : On Economic Inequality (Enlarged Edition with a substantial annexe “On Economic Inequality” after a Quarter Century with James Foster) , Oxford 1997, ISBN 0-19-828193-5
Tsui, Kai-Yuen (1995) : Multidimensional Generalizations of the Relative and Absolute Inequality Indices : The Atkinson-Kolm-Sen Approach. Journal of Economic Theory 67, 251-265.

Liens externes

La répartition du revenu disponible (Répartition par tranche de revenu des ménages, Source : Insee. Année des données : 2004, enquête revenus fiscaux) et les mesures d'inégalité
(en) De la feuille de calcul au tableur

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