Indice de Theil

L'indice de Theil est un indice de mesure d'inégalité fondé sur l'entropie de Shannon.



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  • ... L'indice de Theil est une moyenne géométrique pondérée des revenus relatifs... 26 % des ressources et 26 % des individus ont 74 % des ressources. Et un indice valant 1 correspond à une société dans laquelle 82, 4 % des ... (source : lyc-arsonval-brive.ac-limoges)
  • d'investissements, de ressources et de réseaux qui produisent la cohésion sociale, .... Notre intérêt pour l'indice de Theil est ici double dans la mesure... (source : pages.usherbrooke)

L'indice de Theil est un indice de mesure d'inégalité fondé sur l'entropie de Shannon.

Formule

Illustration de la relation entre l'indice de Theil T et l'indice de Hoover H (différence T-H et quotient T/H) pour des sociétés divisées en deux quantiles, ou A% des peuples ont B% des ressources et B% des peuples ont A% de l'ensemble des ressources. A+B=100%. Pour de telles sociétés, l'indice de Hoover et le cœfficient de Gini sont les mêmes mesures. T=T_T=T_L=T_s = 2 H \, \operatorname{argtanh} \left( H \right)\,

Formule[2] pour l'indice de Theil \displaystyle{} T :



T_T = \ln{\frac{{A}_\mathrm{total}}{{E}_\mathrm{total}}} - \frac{\sum_{i=1}ˆN {{E}_i} \ln{\frac{{A}_i}{{E}_i}}}{{E}_\mathrm{total}}


En cas de E'i = Ei / Etotal et A'i = Ai / Atotal :


\color{Gray} T_T = 0 - \frac{\sum_{i=1}ˆN {{E}'_i} \ln{\frac{{A}'_i}{{E}'_i}}}{1} = \sum_{i=1}ˆN {{E}'_i} \ln{\frac{{E}'_i}{{A}'_i}}

C'est l'inégalité par référence aux ressources. La partie à gauche est l'entropie maximale (aussi par référence aux ressources) d'une société sans inégalité distributive. Le partie à droite est l'entropie actuelle de la société, causée par l'inégalité distributive de cette société. Par référence à la théorie de l'information[3], une telle différence est la redondance.


L'inégalité par référence à la population :


T_L = \ln{\frac{{E}_\mathrm{total}}{{A}_\mathrm{total}}} - \frac{\sum_{i=1}ˆN {{A}_i} \ln{\frac{{E}_i}{{A}_i}}}{{A}_\mathrm{total}}


En cas de E'i = Ei / Etotal et A'i = Ai / Atotal :


\color{Gray} T_L = 0 - \frac{\sum_{i=1}ˆN {{A}'_i} \ln{\frac{{E}'_i}{{A}'_i}}}{1} = \sum_{i=1}ˆN {{A}'_i} \ln{\frac{{A}'_i}{{E}'_i}}

L'opération[4] pour normalizer les indices de Theil est \displaystyle 1 - eˆ{-T}

L'indice de Theil et indice de Hoover

La moyenne de ces deux formules[5] est un indice symétrique :


T_s = {\frac{1}{2}} \sum_{i=1}ˆN \color{Blue} \ln \frac{E_i}{A_i} \left( \color{Black} \frac{{E}_i}{E_\text{total}} - \frac{A_i}{A_\text{total}} \color{Blue} \right) \color{Black}


La moyenne est particulièrement convenable par comparaison avec le plus simple des indices d'inégalité : l'indice de Hoover. La différence est indiquée par la couleur bleue.


H = \frac{1}{2} \sum_{i=1}ˆN \color{Blue} \left| \color{Black} \frac{E_i}{E_\text{total}} - \frac{A_i}{A_\text{total}} \color{Blue} \right| \color{Black}

Decomposition

Si pour les sous-groupes k les sous-indices de Theil sont connus :


T_T = \ln{\frac{{A}_\mathrm{total}}{{E}_\mathrm{total}}} - \frac{\sum_{i=1}ˆN {{E}_i} \left( \ln{\frac{{A}_i}{{E}_i}} - T_{T_i}\right)}{{E}_\mathrm{total}}



T_L = \ln{\frac{{E}_\mathrm{total}}{{A}_\mathrm{total}}} - \frac{\sum_{i=1}ˆN {{A}_i} \left( \ln{\frac{{E}_i}{{A}_i}} - T_{L_i}\right)}{{A}_\mathrm{total}}



T_s = {\frac{1}{2}} \sum_{i=1}ˆN \ln \frac{E_i}{A_i} \left( \frac{{E}_i}{E_\text{total}} - \frac{A_i}{A_\text{total}} \right) + \frac{{E}_i}{E_\text{total}} T_{T_i} + \frac{{A}_i}{A_\text{total}} T_{L_i}

Fonction de bien-être

Il est envisageable de calculer la fonction de bien-être (welfare function) proposée par Amartya Sen et James A. Foster (1996) [6] par cette formule :

W_\mathrm{Theil-L} = \overline {revenu} \cdot \mathrm{e}ˆ{-T_L} = \frac {E_\mathrm{total}}{A_\mathrm{total}} \text{ } \mathrm{e}ˆ{-T_L} = \mathrm{e}ˆ{\frac{\sum_{i=1}ˆN {{A}_i} \left( \ln{\frac{{E}_i}{{A}_i}} - T_{L_i}\right)}{{A}_\mathrm{total}}} = \prod_{i=1}ˆN \left( \frac{{E}_i}{{A}_i}  \text{ } \mathrm{e}ˆ{-T_{L_i}} \right)ˆ{\frac{{A}_i}{{A}_\mathrm{total}}}

Le revenu moyen d'une personne dans une société dont les revenus sont inégaux ne décrit pas le revenu Ei de la majorité des citoyens. La fonction de bien-être peut remplacer la médiane. La valeur de la fonction de bien-être est encore plus petite que le revenu moyen.

Si on prend un du revenu total de cette société, cet sera part d'un revenu Ei plus grand que le revenu moyen :

Wˆ{-1}_\mathrm{Theil-T} = \overline {revenu} \cdot \mathrm{e}ˆ{T_T} = \frac {E_\mathrm{total}}{A_\mathrm{total}} \text{ } \mathrm{e}ˆ{T_T} = \mathrm{e}ˆ{\frac{\sum_{i=1}ˆN {{E}_i} \left( \ln{\frac{{E}_i}{{A}_i}} + T_{T_i}\right)}{{E}_\mathrm{total}}} = \prod_{i=1}ˆN \left( \frac{{E}_i}{{A}_i}  \text{ } \mathrm{e}ˆ{T_{T_i}} \right)ˆ{\frac{{E}_i}{{E}_\mathrm{total}}}

Références

  1. Exemple  (voir aussi : Loi de Pareto)  : 82, 4 % des peuples ont 17, 6 % des ressources et 17, 6 % des peuples ont 82, 4 % de l'ensemble des ressources : http ://www. poorcity. richcity. org/calculator/?quantiles=82.4, 17.6|17.6, 82.4
  2. E et A sont utilisés comme tels par Lionnel Maugis : Inequality Measures in Mathematical Programming for the Air Traffic Flow Management Problem with En-Route Capacities (pour IFORS 96), 1996 (CENA - Centre d'études de la Navigation Aérienne, France)
  3. ISO/IEC DIS 2382-16 :1996
  4. Juana Domínguez-Domínguez, José Javier Núñez-Velázquez : The Evolution of Economic Inequality in the EU Countries During the Nineties, 2005
  5. Elhanan Helpman : The Mystery of Economic Growth, 2004, ISBN 0-674-01572-X (Ces deux formules pour TT et TL sont identiques aux formules page 150. )
  6. James E. Foster und Amartya Sen, 1996, On Economic Inequality, expanded edition with annexe, page 129, ISBN 0-19-828193-5

Voir aussi

Littérature

Liens externes


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