Gaz parfait relativiste

Le gaz parfait relativiste est un modèle de théorie cinétique des gaz qui considère un gaz composé de particules relativistes n'interagissant pas entre elles.



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Physique statistique - Statistiques

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  • Monter tandis que l'équation d'état de tout gaz parfait classique (relativiste ou non, ayant une structure interne ou non) est . P V = N kB T.... (source : lptms.u-psud)
  • Le gaz parfait relativiste est une généralisation du gaz parfait aux cas où les particules de gaz ont des vitesses proches de celles de la lumière.... (source : ilephysique)

Le gaz parfait relativiste est un modèle de théorie cinétique des gaz qui considère un gaz composé de particules relativistes n'interagissant pas entre elles. Contrairement au gaz parfait «classique» qu'il généralise, il prend en compte les particules animées de vitesses proches de celle de la lumière.

Gaz non quantique

Fonction de partition

La fonction de partition du gaz parfait relativiste monoatomique (particules sans degrés de liberté internes comme la rotation ou vibration des particules) est :

Z = \frac{1}{N!} \left\{ 4\pi V \left(\frac{mc}{h}\right)ˆ3 \exp (u) \frac{K_2(u)}{u}\right\}ˆN,

où :

u = \frac{\,mcˆ2}{kT},
K_n(x) = \frac{2ˆn xˆn \Gamma(n+1/2)}{\sqrt{\pi}} \int_0ˆ{+\infty} \frac{\cos\zeta \,\text{d}\zeta}{(\zetaˆ2+xˆ2)ˆ{n+1/2}} (fonction de Bessel modifiée de seconde espèce),

avec

  • T la température ;
  • N le nombre de particules du gaz ;
  • m la masse de chaque particule

Variables thermodynamiques

Variables thermodynamiques, dans l'approximation de la plupart de particules.
Variable Expression générale Limite classique Limite ultra-relativiste
énergie interne U[4] Nmcˆ2 \left[ \frac{K_1(u)}{K_2(u)} + \frac{3}{u} - 1\right] \frac32 NkT 3 NkT\,
énergie libre F[4] -NkT \left\{  \log \left[ \frac{4\pi V}N \left(\frac{mc}h\right)ˆ3 \frac{K_2(u)}{u} \right] + 1 \right\} - Nmcˆ2
enthalpie H Nmcˆ2 \left[ \frac{K_1(u)}{K_2(u)} + \frac{4}{u} - 1\right] \frac52 NkT 4 NkT\,
enthalpie libre G -NkT  \log \left[ \frac{4\pi V}N \left(\frac{mc}h\right)ˆ3 \frac{K_2(u)}{u} \right]  - Nmcˆ2
capacité calorifique CV[4] N k u \left\{ u + \frac 3{u} - \frac{K_1(u)}{K_2(u)} \left[ 3 + u\frac{K_1(u)}{K_2(u)}\right]   \right\} \frac32 Nk 3 Nk\,
capacité calorifique CP N k u \left\{ u + \frac 4{u} - \frac{K_1(u)}{K_2(u)} \left[ 3 + u\frac{K_1(u)}{K_2(u)}\right]   \right\} \frac52 Nk 4 Nk\,
potentiel chimique μ[4] -kT \log \left[ \frac{4\pi V}N \left(\frac{mc}h\right)ˆ3 \frac{K_2(u)}{u} \right] - mcˆ2
entropie S[4] Nk \left\{ \log \left[ \frac{4\pi V}N \left(\frac{mc}h\right)ˆ3 \frac{K_2(u)}{u} \right] + 4 + \frac{K_1(u)}{K_2(u)}\right\}
pression P[4] \frac{NkT}V \frac{NkT}V \frac{NkT}V

Bibliographie

Ouvrages généraux

Références

  1. Greiner et al. (1999) , p. 269-271
  2. Les grandes lignes suivent Greiner et al. (1999) , p. 269-271. L'intégration finale utilise un autre changement de variables.
  3. (en) Le lien entre l'intégrale et la fonction de Bessel Kn est donné par Modified Bessel Function of the Second Kind sur MathWorld, Equation 7
  4. Expressions générales données par Greiner et al. (1999) , p. 271-273

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