Fonction génératrice

En mathématiques, la fonction génératrice de la suite est la série formelle définie par



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Loi de probabilité - Statistiques

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Page(s) en rapport avec ce sujet :

  • à l'introduction de la notion de fonction génératrice de X :... c'est-à-dire que la fonction génératrice d'une somme est le produit des fonctions... (source : les.mathematiques.free)
  • ... Utilisation des fonctions caractéristiques Fonction génératrice d'une... Exemples : détection imparfaite, fonction caractéristique d'un couple à ... (source : unit)
  •  : Deux fonction génératrices ou (série génératrices) ordinaires ou exponentielles sont identiques si et uniquement si an=bn n≥0... (source : brassens.upmf-grenoble)

En mathématiques

En mathématiques, la fonction génératrice de la suite (an) est la série formelle définie par

\sum a_nXˆn

On confond quelquefois la fonction génératrice et une fonction de la variable x. Cependant, il est utile de préciser qu'une fonction génératrice est avant tout une série formelle et que la fonction de la variable x correspondante risque de ne pas converger pour tout x.

On parle aussi de fonction génératrice exponentielle de la suite (an) définie par la série formelle \sum a_n \frac{Xˆn}{n!}.

Quand on travaille plutôt avec l'inverse de X, la variable z=1/X, on parle alors de la transformée en Z, \sum a_n{(1/z)}ˆn, qui est énormément utilisée en traitement du signal et en asservissements.

On peut retrouver la suite d'origine (an) à partir de la fonction génératrice F (X) (resp. la fonction génératrice exponentielle E (X) ) selon les formules

a_k = \frac{1}{k!} \frac{dˆk F}{d Xˆk}(0) \quad\text{ et }\quad a_k = \frac{dˆk E}{d Xˆk}(0)

En probabilité

Définition

Soit X une variable aléatoire entière et positive, la fonction génératrice de X est la série entière :

 G_X(t)=\sum _{k=0} ˆ\infty \mathbb{P}(X=k)tˆk,

où est la probabilité que la variable aléatoire X prenne la valeur k.

Fonctions génératrices de lois usuelles

G_{\lambda}(t)=eˆ{\lambda(t-1)}\ ;
Gn, p (t) = (1 − p + pt) n.

Propriétés

G_X(t)=\mathbb{E}[tˆ{ X}].
\mathbb{E}[X]= \frac{dG_X}{dt} (t=1).
 Var[X]=\frac{dˆ2 G_X}{dtˆ2} (t=1) + \frac {dG_X} {dt} (t=1) - \left(\frac{dG_X}{dt} (t=1)\right)ˆ2.
G_{X+Y}=G_X\times G_Y.
Remarque : La réciproque est fausse.
S_n = \sum_{i=1}ˆn a_i X_i,
où les ai sont des constantes, alors
G_{S_n}(z) = E(zˆ{S_n}) = E(zˆ{\sum_{i=1}ˆn a_i X_i,}) = G_{X_1}(zˆ{a_1})G_{X_2}(zˆ{a_2})\cdots G_{X_n}(zˆ{a_n}).
S_n = \sum_{i=1}ˆn X_i,
a pour fonction génératrice :
G_{S_n} = Gˆn.

Composition des fonctions génératrices

La propriété suivante est spécifiquement utile à l'étude des processus de Galton-Watson.

Théorème — Soit une suite de variables aléatoires de même loi et une variable aléatoire, toutes à valeurs dans

  • On pose
S_N = \sum_{n=1}ˆ{N}X_n= \sum_{n\ge 1}X_n\ 1\!\!1_{\{N\ge n\}}.
  • On suppose que la suite est constituée de variables aléatoires indépendantes.

Alors :

G_{S_N}=G_N\circ G_X.

Généralisation aux variables aléatoires non entières

Cette notion de fonction génératrice se généralise aux variables aléatoires continues par les fonctions caractéristiques. Une autre notion utile est la fonction génératrice des moments.

Voir aussi

Références

  1. Ce résultat est induit par le fait qu'il existe une relation bijective entre une loi de probabilité et sa fonction génératrice. La loi de probabilité définit la fonction génératrice F et , réciproquement, on retrouve la loi de probabilité à partir de F puisque pk = F (k) (0) / k!. Cette relation justifie l'appellation anglaise de Probability-generating function   (en)

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