Fonction de Walsh

Les fonctions de Walsh sont un ensemble de fonctions qui forment une base orthogonale sur l'intervalle pour les fonctions qui respectent la condition suivante ...

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Par définition, la fonction de Walsh associée au point x est la valeur, au point x, dé la totalité ordonné de Walsh, l'ordre étant celui auparavant défi-... (source : archive.numdam)

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Table des huit premières fonctions orthogonales d'une base orthogonale

Les fonctions de Walsh sont un ensemble de fonctions qui forment une base orthogonale sur l'intervalle $[0;1]$ pour les fonctions qui respectent la condition suivante :

$\int_{-\infty}ˆ{\infty} {|f(x)|ˆ2 dx}$ est finie.

Ces fonctions prennent seulement les valeurs -1 et 1, sur des sous-intervalles définis par les fonctions dyadiques. Elles sont utiles en électronique et d'autres applications en ingénierie.

Les fonctions orthogonales de Walsh sont utilisées pour effectuer les transformées de Hadamard, qui sont particulièrement identiques aux sinusoïdales orthogonales employées dans le cadre de la transformée de Fourier. Les fonctions de Walsh partagent aussi des similitudes avec l'ondelette de Haar. Le dispositif de Haar est cependant préférable dans certaines situations où la localisation est indispensable (tandis que les fonctions de Walsh sont bornées) ou d'autres caractéristiques propres aux ondelettes doivent être respectées.

L'ordre de la fonction est 2^s, où s est un entier, ce qui implique qu'il y a 2^s intervalles où la valeur est égale à -1 ou 1.

Une liste de 2^s fonctions de Walsh forme une matrice de Hadamard. Une manière de définir les fonctions de Walsh consistent à utiliser la représentation binaire des entiers et des réels. Pour un entier k, on considère la représentation binaire suivante :

$k = k_0 + 2k_1 + ... + 2ˆm k_m∼$

pour un entier m avec k_i égale à 0 ou 1. Par la suite, si k est le résultat en code Gray de j-1, alors la j^e fonction de Walsh au point x, avec 0 ≤ x < 1, est :

$W_j(x) = (-1)ˆ{k_0 x_0 + ... + k_m x_m}$

$∼x = 2x_0 + 2ˆ2 x_1 + 2ˆ3 x + ...$

où x_i est 0 ou 1.

Les fonctions de Walsh peuvent être perçues comme les caractères de :

$∼(Z_2)ˆN$ ,

le groupe de séquences sur Z₂. Vu sous cet angle, plusieurs généralisations ont été proposées.

Applications

Les applications en mathématiques peuvent être trouvées où des représentations numériques sont utilisées, par exemple dans l'analyse des méthodes numériques de quasi-Monte Carlo.

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