Fonction de répartition empirique

En Statistiques, une fonction de répartition empirique est une fonction de répartition qui attribue la probabilité 1/ n à chacun des n nombres dans un échantillon.

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En Statistiques, une fonction de répartition empirique est une fonction de répartition qui attribue la probabilité 1/n à chacun des n nombres dans un échantillon.

Soit $X_1,\ldots,X_n$ un échantillon de variables iid à valeurs dans $\mathbb{R}$ avec pour fonction de répartition F (x).

La fonction de distribution empirique $F n (x)$ basée sur l'échantillon $X_1,\ldots,X_n$ est une fonction en escalier définie par

$F_n(x) = \frac{ \mathrm{nombre∼d'\acute el \acute ements∼ dans∼ l'\acute echantillon} \leq x}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}ˆn I(X_i \le x),$

où I (A) est la fonction indicatrice de l'événement A.

Pour un x fixé, la variable $I(X_i\leq x)$ est une variable aléatoire de Bernoulli, de paramètre p = F (x). Donc, la variable $n F n (x)$ est distribuée selon une loi binomiale, avec pour moyenne nF (x) et pour variance nF (x) (1 − F (x) ).

Propriétés asymptotiques

Par la loi forte des grands nombres,

$F_n(x)\to F(x)$ presque sûrement pour un x fixé.

En d'autres termes,

F n (x)

est un estimateur non-biaisé de la fonction de répartition F (x) .

Par le théorème de la limite centrale,

$\sqrt{n}(F_n(x)-F(x))$

converge en loi vers une loi normale N (0, F (x) (1 - F (x) ) ) pour un x fixé.

Le théorème de Berry–Esseen (en) procure le taux de convergence.

Par le théorème de Glivenko-Cantelli (en) $F_n(x)\to F(x)$ uniformément, c'est-à-dire

$\|F_n(x)-F(x)\|_\infty\to 0$ with probability 1.

L'inégalité de Dvoretzky-Kiefer-Wolfowitz (en) procure le taux de convergence.

Kolmogorov a montré que

$\sqrt{n}\|F_n(x)-F(x)\|_\infty$ converge en distribution vers la distribution de Kolmogorov, à condition que F (x) est continu.

Le test de Kolmogorov-Smirnov de goodness-of-fit est basé sur ce fait.

Par le théorème de Donsker,

$\sqrt{n}(F_n-F)$ , comme processus indexé par x, converge faiblement dans $\ellˆ\infty(\mathbb{R})$ vers un pont brownien B (F (x) ).

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