Fonction de Pearson
Les fonctions de Pearson ont été crées pour représenter des distributions unimodales. Il en existe douze. Elles ont été découvertes par Karl Pearson à la fin du XIXe siècle et au début du XXe siècle.
Page(s) en rapport avec ce sujet :
- La connaissance des fonctions de distribution des statistiques d'ordre, ... de la statistique d'ordre k pour la loi Pearson III fonction de distribution cumule..... A new table of percentage points of the Pearson type III distribution.... (source : linkinghub.elsevier)
- fonctions de distribution statistiques non adaptées à l'échantillon édudié..... La fonction de distribution de Pearson est définie par... (source : iahs)
Les fonctions de Pearson ont été crées pour représenter des distributions unimodales. Il en existe douze. Elles ont été découvertes par Karl Pearson à la fin du XIXe siècle et au début du XXe siècle.
Pearson IV
La densité de probabilité ƒ, pour x réel, vaut :
où
- m, ν, a et λ sont des réels ;
- m > 1/2 ;
- k est un facteur de normalisation.
La fonction est invariante si on change simultanément le signe de a et de ν, on prend par conséquent par convention
- a > 0.
Si m ≤ 1/2, la fonction n'est pas normalisable.
La fonction de Pearson IV est en fait une version asymétrique de la loi de Student ; de fait, on retrouve la loi de Student avec 2m-1 degrés de liberté pour ν = 0.
Pour m = 1, la distribution de Pearson IV est une forme asymétrique de la distribution de Cauchy (ou distribution de Breit-Wigner).
La fonction a un mode (sommet) unique positionné en
elle présente deux points d'inflexion localisés en
.
Sa moyenne vaut
pour m > 1
en posant
- r = 2 (m - 1).
La moyenne est illimitée si ν = 0 et m ≤ 1.
Sa variance vaut
pour m > 3/2.
La variance est illimitée si m ≤ 3/2.
Le facteur de normalisation vaut :
où Γ est la fonction Gamma d'Euler.
Pearson VII
La VIIe fonction de Pearson est définie, pour x entier, par
où M est le paramètre de forme, ou «largeur de Pearson».
On écrit quelquefois une expression simplifiée :
On a
- M < 1 : distribution dit super lorentzien ;
- M = 1 : distribution de Cauchy : Lorentz (lorentzienne) : Breit-Wigner ;
- M = ∞ : distribution de Gauss-Laplace (gaussienne, loi normale).
Elle est utiilsée en radiocristallographie pour modéliser le profil des pics de diffraction (voir aussi Fonction de Voigt).
Voir aussi
Bibliographie
- Karl Pearson, Contributions to the Mathematical Theory of Evolution. —II. Skew Variation in Homogeneous Material, Philosophical Transactions of the Royal Society of London A, 186, (1895), page 343.
- Karl Pearson, Mathematical Contributions to the Theory of Evolution. —X. Supplement to a Memoir on Skew Variation, Philosophical Transactions of the Royal Society of London A, 197, (1901), page 443.
- Karl Pearson, Mathematical Contributions to the Theory of Evolution. —XIX. Second Supplement to a Memoir on Skew Variation, Philosophical Transactions of the Royal Society of London A, 216, (1916), page 429.
Liens externes
- (en) A Guide to the Pearson Type IV Distribution, Jœl Heinrich, University of Pennsylvania, 2004
Recherche sur Amazon (livres) : |
Voir la liste des contributeurs.
La version présentée ici à été extraite depuis cette source le 07/04/2010.
Ce texte est disponible sous les termes de la licence de documentation libre GNU (GFDL).
La liste des définitions proposées en tête de page est une sélection parmi les résultats obtenus à l'aide de la commande "define:" de Google.
Cette page fait partie du projet Wikibis.