Fonction de Pearson

Les fonctions de Pearson ont été crées pour représenter des distributions unimodales. Il en existe douze. Elles ont été découvertes par Karl Pearson à la fin du XIXe siècle et au début du XXe siècle.

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Fonction remarquable - Loi de probabilité - Statistiques

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Les fonctions de Pearson ont été crées pour représenter des distributions unimodales. Il en existe douze. Elles ont été découvertes par Karl Pearson à la fin du XIX^e siècle et au début du XX^e siècle.

Pearson IV

La densité de probabilité ƒ, pour x réel, vaut :

$f(x) = k \cdot \left [ 1 + \left ( \frac{x - \lambda}{a}\right )ˆ2 \right ]ˆ{-m} \cdot \exp \left [ - \nu \cdot \tanˆ{-1} \left ( \frac{x - \lambda}{a}\right ) \right ]$

où

m, ν, a et λ sont des réels ;
m > 1/2 ;
k est un facteur de normalisation.

La fonction est invariante si on change simultanément le signe de a et de ν, on prend par conséquent par convention

a > 0.

Si m ≤ 1/2, la fonction n'est pas normalisable.

La fonction de Pearson IV est en fait une version asymétrique de la loi de Student ; de fait, on retrouve la loi de Student avec 2m-1 degrés de liberté pour ν = 0.

Pour m = 1, la distribution de Pearson IV est une forme asymétrique de la distribution de Cauchy (ou distribution de Breit-Wigner).

La fonction a un mode (sommet) unique positionné en

$x_m = \lambda - \frac{a \nu}{2 m}$

elle présente deux points d'inflexion localisés en

$x_{i+/-} = x_m \pm \frac{a}{2 m} \sqrt{\frac{4mˆ2 + \nuˆ2}{2m+1}}$ .

Sa moyenne vaut

$\langle x \rangle = \lambda - \frac{a \nu}{r}$ pour m > 1

en posant

r = 2 (m - 1).

La moyenne est illimitée si ν = 0 et m ≤ 1.

Sa variance vaut

$\mu_2 = \frac{aˆ2}{rˆ2(r-1)}(rˆ2 + \nuˆ2)$ pour m > 3/2.

La variance est illimitée si m ≤ 3/2.

Le facteur de normalisation vaut :

$k = \frac{2ˆ{2m-2} | \Gamma (m + i \nu /2) |ˆ2}{\pi a \Gamma (r)}$

où Γ est la fonction Gamma d'Euler.

Pearson VII

La VII^e fonction de Pearson est définie, pour x entier, par

$f = \frac{1}{\left [ 1+ \left (\frac{2(x-x_0) \cdot \sqrt{2ˆ{1/M}-1}}{w} \right )ˆ2 \right ]ˆM}$

où M est le paramètre de forme, ou «largeur de Pearson».

On écrit quelquefois une expression simplifiée :

$f = \left [ 1 + Kˆ2 \frac{(x-x_0)ˆ2}{M} \right ]ˆ{-M}$

On a

M < 1 : distribution dit super lorentzien ;
M = 1 : distribution de Cauchy : Lorentz (lorentzienne) : Breit-Wigner ;
M = ∞ : distribution de Gauss-Laplace (gaussienne, loi normale).

Elle est utiilsée en radiocristallographie pour modéliser le profil des pics de diffraction (voir aussi Fonction de Voigt).

Voir aussi

Bibliographie

Karl Pearson, Contributions to the Mathematical Theory of Evolution. —II. Skew Variation in Homogeneous Material, Philosophical Transactions of the Royal Society of London A, 186, (1895), page 343.
Karl Pearson, Mathematical Contributions to the Theory of Evolution. —X. Supplement to a Memoir on Skew Variation, Philosophical Transactions of the Royal Society of London A, 197, (1901), page 443.
Karl Pearson, Mathematical Contributions to the Theory of Evolution. —XIX. Second Supplement to a Memoir on Skew Variation, Philosophical Transactions of the Royal Society of London A, 216, (1916), page 429.

Liens externes

(en) A Guide to the Pearson Type IV Distribution, Jœl Heinrich, University of Pennsylvania, 2004

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