Droite de Henry

La droite de Henry est une méthode graphique pour ajuster une distribution gaussienne à celle d'une série d'observations.

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La droite de Henry est une méthode graphique pour ajuster une distribution gaussienne à celle d'une série d'observations (d'une variable numérique continue). En cas d'ajustement, elle sert à lire rapidement la moyenne et l'écart type d'une telle distribution.

Cette droite porte le nom du polytechnicien J. P. P. Henri (ou Henry) (1848 - 1907) qui l'a mise au point et en a enseigné l'utilisation à l'école d'artillerie dans les années 1880. Jules Haag, ensuite l'introduisit dans son cours à l'école d'artillerie de Fontainebleau^[1].

Principe

Si X est une variable gaussienne de moyenne $\overline{x}$ et de variance $σ 2$ et si N est une variable de loi normale centrée réduite, on a les égalités suivantes :

$P(X < x) = P\left(\frac{X-\overline{x}}{\sigma} < \frac{x-\overline {x}}{\sigma}\right) = P(N < t) = \Phi(t)$ , avec $t = \frac{x-\overline{x}}{\sigma}$

(on note $Φ$ la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite).

Pour chaque valeur x_i de la variable X, on peut (avec une table de la fonction $Φ$ ) :

calculer $P (X < x i)$
en déduire $t i$ tel que $Φ (t i) = P (X < x i)$

Si la variable est gaussienne, les points de coordonnées (x_i ; t_i) sont alignés sur la droite d'équation $t = \frac{x-\overline{x}}{\sigma}$ . On compare par conséquent les valeurs des quantiles de la loi empirique (x_i) au quantiles de la loi normale centrée réduite t_i.

Cette méthode peut aussi se généraliser à d'autres distributions en comparant ici encore les quantiles théoriques au quantiles empiriques.

Exemple numérique

Lors d'un examen noté sur 20, on obtient les résultats suivants :

10% des candidats ont obtenu moins de 4
30% des candidats ont obtenu moins de 8
60% des candidats ont obtenu moins de 12
80% des candidats ont obtenu moins de 16

On cherche à déterminer si la distribution des notes est gaussienne, et , si oui, ce que valent son espérance et son écart type.

On connaît par conséquent 4 valeurs x_i, et , pour ces 4 valeurs, on connaît P (X < x_i).

En utilisant la table table de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, on détermine les t_i correspondants :

x_i	P (X<x_i) = Φ (t_i)	t_i
4	0, 10	-1, 28
8	0, 30	-0, 525
12	0, 60	0, 255
16	0, 80	0, 84

Il suffit alors de tracer les points de coordonnées (x_i ; t_i).

Les points paraissent alignés ; la droite coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse 11 et le cœfficient directeur est (0, 84 +1, 28) /12 à peu près, ce qui donnerait un écart type de 12/2, 12 = 5, 7.

Cela laisse penser que la distribution est gaussienne de paramètres $m$ , $σ 2$ , où $m = 11$ et $σ = 5, 7$ .

Papier gausso-arithmétique

Dans le principe décrit auparavant, il est indispensable de rechercher les t_i correspondant à chaque P (xi), ce qui demande une lecture à l'envers de la table de la loi normale. Il est envisageable aussi de travailler sur un papier dont l'échelle en ordonnée utilise déjà cette conversion. En ordonnée, apparaissent deux graduations : à droite, une graduation arithmétique ainsi qu'à gauche les valeurs de $Φ (t)$ correspondante. On place alors les points grâce à l'échelle de gauche.

Cette représentation graphique apporte particulièrement naturellement la moyenne qui correspond pour une loi normale à la médiane c'est-à-dire à l'abscisse du point d'ordonnée 50. Mais elle apporte aussi assez aisément l'écart type en utilisant les intervalles de confiance. Dans une distribution normale, de moyenne m et d'écart-type σ l'intervalle [m - σ ; m + σ] regroupe 68% de la population. Il y a par conséquent 16 % des valeurs inférieures à m - σ et 84 % des valeurs inférieures à m + σ. On lit par conséquent la valeur m - σ comme l'abscisse du point d'ordonnée 16 et la valeur m + σ comme celle du point d'ordonnée 84. L'écart entre ces deux abscisses sert à déterminer la valeur 2σ.

Ainsi, dans le graphique ci-dessous, la moyenne est d'environ 11 et l'écart-type est de (16, 7 - 5, 2) /2 soit à peu près 5, 7.

Utilisation d'un papier gausso-arithmétique pour tracer une droite de Henry

Annexes

Notes et références

↑ Michel Armatte, Robert Gibrat et la loi de l'effet proportionnel, dans Mathématiques et sciences humaine, tome 129 (1995), p 16

Liens externes

[pdf] Droite de Henry, échelle gausso-arithmétique et exercices

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