Distribution de Weibull

En théorie des probabilités, la loi de Weibull, appelée selon Waloddi Weibull, est une loi de probabilité continue.

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Loi de probabilité - Statistiques

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Weibull
Densité de probabilité / Fonction de masse
Fonction de répartition

Paramètres
Support	$x \in [0; +\infty)\,$
Densité de probabilité (fonction de masse)	$(k/\lambda) (x/\lambda)ˆ{(k-1)} eˆ{-(x/\lambda)ˆk}$
Fonction de répartition	$1- eˆ{-(x/\lambda)ˆk}$
Espérance	$\mu=\lambda \Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right)\,$
Médiane (centre)	$\lambda\ln(2)ˆ{1/k}\,$
Mode	$\lambda \left(\frac{k-1}{k} \right)ˆ{\frac{1}{k}}\,$ si $k > 1$
Variance	$\sigmaˆ2=\lambdaˆ2\Gamma\left(1+\frac{2}{k}\right) - \muˆ2\,$
Asymétrie (statistique)	$\frac{\Gamma(1+\frac{3}{k})\lambdaˆ3-3\mu\sigmaˆ2-\muˆ3}{\sigmaˆ3}$
Kurtosis (non-normalisé)	voir texte
Entropie	$\gamma\left(1\!-\!\frac{1}{k}\right)+\left(\frac{\lambda}{k}\right)ˆk +\ln\left(\frac{\lambda}{k}\right)$
Fonction génératrice des moments	$m_n = \lambdaˆn \Gamma(1+n/k)\,$

En théorie des probabilités, la loi de Weibull, appelée selon Waloddi Weibull, est une loi de probabilité continue.

Fonctions caractéristiques

Avec deux paramètres sa densité de probabilité est :

$f(x;k,\lambda) = (k/\lambda) (x/\lambda)ˆ{(k-1)} eˆ{-(x/\lambda)ˆk}\,$

où $k > 0$ est le paramètre de forme et $λ > 0$ le paramètre d'échelle de la distribution.

Sa fonction de répartition est définie par :

$F(x;k,\lambda) = 1- eˆ{-(x/\lambda)ˆk}\,$

où, ici encore, $x > 0$ .

Avec trois paramètres (généralisé) sa densité de probabilité est :

$f(x;k,\lambda, \theta)={k \over \lambda} \left({x - \theta \over \lambda}\right)ˆ{k-1} eˆ{-({x-\theta \over \lambda})ˆk}\,$

Pour x ≥ θ et f (x; k, λ, θ) = 0 pour x < ?, où $k > 0$ est le paramètre de forme, $λ > 0$ est le paramètre d'échelle et $θ$ est le paramètre de localisation de la distribution.

Sa fonction de répartition pour la loi de Weibull 3-paramètres est définie par :

$F(x;k,\lambda, \theta) = 1- eˆ{-({x-\theta \over \lambda})ˆk}$

Pour x ≥ θ, et F (x; k, λ, θ) = 0 pour x < ?.

Le cœfficient d'asymétrie (skewness) est donné par :

$\gamma_{1}=\frac{\lambdaˆ3\Gamma(1+\frac{3}{k})-3\mu\sigmaˆ2-\muˆ3}{\sigmaˆ3}$

Le kurtosis est donné par :

$\gamma_{2}=\frac{\lambdaˆ4\Gamma(1+\frac{4}{k})-4\gamma_{1}\sigmaˆ3\mu-6\muˆ2\sigmaˆ2-\muˆ4}{\sigmaˆ4}$

Le taux de panne h est donné par :

$h(x;k,\lambda, \theta) = {k \over \lambda} \left({x-\theta \over \lambda}\right)ˆ{k-1}.$

Utilisation pratique

Généralités

L'expression loi de Weibull recouvre en fait toute une famille de lois, certaines d'entre elles apparaissant en physique comme conséquence de certaines hypothèses. C'est , surtout, le cas de la loi exponentielle (k = 1) et de la loi de Rayleigh (k = 2) importantes en matière de processus stochastique.

Ces lois forment en particulier des approximations spécifiquement utiles dans des techniques diverses tandis qu'il serait particulièrement complexe et sans grand intérêt de justifier une forme spécifique de loi. Une distribution à valeurs positives (ou, d'une façon plus générale mais moins souvent, à valeurs supérieures à une valeur donnée) a presque toujours la même allure. Elle part d'une fréquence d'apparition nulle, croît jusqu'à un maximum et décroît plus lentement. Il est alors envisageable de trouver dans la famille de Weibull une loi qui ne s'éloigne pas trop des données disponibles en calculant $k\,$ et $\lambda\,$ à partir de la moyenne et la variance observées.

Application spécifique

La distribution de Weibull est fréquemment utilisée dans le domaine de l'analyse de la durée de vie, grâce à sa flexibilité : comme dit auparavant, elle sert à représenter au moins approximativement une illimitété de lois de probabilité.

Si le taux de panne diminue au cours du temps alors, $k < 1$ . Si le taux de panne est constant dans le temps alors, $k = 1$ . Si le taux de panne augmente avec le temps alors, $k > 1$ . La compréhension du taux de panne peut apporter une indication au sujet de la cause des pannes.

Un taux de panne décroissant relève d'une "mortalité infantile". Ainsi, les éléments défectueux tombent en panne rapidement, et le taux de panne diminue au cours du temps, lorsque les éléments fragiles sortent de la population.

Un taux de panne constant suggère que les pannes sont liées à une cause stationnaire.

Un taux de panne croissant suggère une "usure ou un problème de fiabilité" : les éléments ont de plus en plus de chances de tomber en panne lorsque le temps passe.

On dit que la courbe de taux de panne est en forme de baignoire. selon l'appareil, baignoire sabot ou piscine. Les fabricants et distributeurs ont tout intérêt à bien maitriser ces informations pa&r type de produits afin d'adapter : 1° les durées de garantie (gratuites ou payantes) 2° le planning d'entretien (voir MTBF) (La java bleue janvier 2010)

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