Distribution de Boltzmann

En physique, la distribution de Boltzmann prédit la fonction de distribution pour le nombre fractionnaire de particules N i / N occupant un ensemble d'états i qui ont chacun pour énergie E i ...

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Physique statistique - Statistiques

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En physique, la distribution de Boltzmann prédit la fonction de distribution pour le nombre fractionnaire de particules N_i / N occupant un ensemble d'états i qui ont chacun pour énergie E_i :

${{N_i}\over{N}} = {{g_i eˆ{-E_i/k_BT}}\over{Z(T)}}$

où $k B$ est la constante de Boltzmann, T est la température (postulée comme étant définie particulièrement exactement), $g i$ est la dégénérescence, ou le nombre d'états d'énergie $E i$ , N est le nombre total de particules :

$N=\sum_i N_i\,$

et Z (T) est nommée fonction de partition, qui peut être reconnue comme égale à :

$Z(T)=\sum_i g_i eˆ{-E_i/k_BT}$ .

D'autre part, pour un dispositif simple à température définie de manière exacte, elle donne la probabilité pour le dispositif soit dans l'état spécifié. La distribution de Boltzmann s'applique uniquement pour des particules à assez haute température et assez faible densité pour que les effets quantiques soient ignorés, et que ces particules obéissent à la statistique de Maxwell-Boltzmann (se référer à cette article pour la démonstration de la distribution de Boltzmann).
La distribution de Boltzmann est quelquefois écrite en termes de β = 1/kT où β est le beta thermodynamique. Le terme exp (−βE_i) ou exp (−E_i/kT), qui donne la probabilité relative (non normalisée) d'un état, est nommé facteur de Boltzmann et apparaît quelquefois dans les études en physique et chimie.
Quand l'énergie est identifiée à l'énergie cinétique de la particule :

$E_i = {\begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix}} mvˆ{2},$ ,

la distribution est une distribution de Maxwell-Boltzmann des vitesses de molécules gazeuses, jusque là prédite par Maxwell en 1859. La distribution de Boltzmann est , cependant, plus générale. A titre d'exemple, elle prédit aussi les variations de la densité de particules dans un champ gravitationnel selon la hauteur, si $E_i = {\begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix}} mvˆ{2} + mgh$ . En réalité, cette distribution s'applique dans l'ensemble des cas où les considérations quantiques peuvent être ignorées.
Occasionnellemen, une approximation continue. S'il existe g (E) dE d'états d'énergie comprise entre E et E + dE, la distribution de Boltzmann prédit la distribution de probabilité pour l'énergie :

$p(E)\,dE = {g(E) \exp({-\beta E})\over {\int g(E') \exp {(-\beta E')}}\,dE'}\, dE.$

g (E) est nommé densité d'états si le spectre énergétique est continu.
Les particules classiques avec cette distribution d'énergie obéissent à la statistique de Maxwell-Boltzmann. Dans la limite classique, i. e. pour des valeurs élevées de E/kT ou une faible densité d'états — quand les fonctions d'ondes des particules ne se superposent pas en pratique, les distributions de Bose-Einstein et de Fermi-Dirac s'identifient à une distribution de Boltzmann.

Notes

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu d'une traduction de l'article de Wikipédia en anglais intitulé «Boltzmann distribution» (voir la page de discussion) .

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