Croissance exponentielle

En mathématique, en économie et en biologie, on parle d'un phénomène à croissance exponentielle quand la croissance en valeur absolue de la population est proportionnelle à la population existante, c'est-à-dire quand le taux de croissance est constant.

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Biomathématiques - Croissance économique - Démographie - Statistiques - Exponentielle

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Article d'une série sur
la constante mathématique e



Logarithme naturel

Applications
Intérêts composés · Identité d'Euler · Formule d'Euler · Demi-vie · Croissance exponentielle / Décroissance exponentielle

Définitions
Démonstration de l'irrationalité d'e · Représentations d'e · Théorème d'Hermite-Lindemann

Personnes
John Napier · Jacques Bernoulli · Leonhard Euler

Conjecture de Schanuel

En mathématique, en économie et en biologie, on parle d'un phénomène à croissance exponentielle (ou géométrique) quand la croissance en valeur absolue de la population est proportionnelle à la population existante, c'est-à-dire quand le taux de croissance est constant.

On exprime alors fréquemment la croissance sous forme d'un pourcentage : une croissance de 10 % par an veut dire que la population est multipliée par 1, 1 chaque année. Ainsi, pour une population d'origine de 1 000 individus :

au bout d'un an, elle passe à 1 100 individus ( $1000 \times 1,1$ )
au bout de deux ans, elle passe à 1 210 individus ( $1100 \times 1,1$ ou $1000 \times 1,1 \times 1,1$ ou $1000 \times 1,1ˆ2$ )
...
au bout de 7 ans, elle a presque doublé ( $1000 \times 1,1ˆ7 = 1948,7...$ )
...
au bout de 100 ans, elle a été multipliée par 13 780 ;
la formule générale est $Pop_n = Pop_0 \times croissanceˆn$ pour estimer la population après n année ayant une population de départ Pop₀. et où croissance est le facteur multiplicatif servant à passer d'une population à la population l'année suivante.

Une croissance exponentielle s'exprime en mathématiques :

pour un phénomène discret (on prend des mesures à intervalle régulier) sous forme d'une suite géométrique
pour un phénomène continu (on essaie de calculer ce qui se passe entre deux mesures consécutives) sous forme d'une fonction exponentielle.

On démontre en mathématiques qu'une croissance exponentielle conduit la taille de la population à croître de plus en plus vite vers $+ \infty$ ; on parle par conséquent quelquefois d'explosion exponentielle.

Cette évolution théorique ne résiste par conséquent pas à l'expérience : aucun phénomène ne peut croître indéfiniment car sa croissance est limitée par le milieu dans lequel se trouve la population. Le premier à avoir soulevé un tel problème fut le pasteur Thomas Malthus (1766 - 1834), quoique ses prévisions sur la croissance de la population humaine ne se soient pas réalisées.

Actuellement, on admet volontiers que le développement bactérien d'une culture biologique peut être modélisé sous forme exponentielle pour le début du développement mais que les contraintes du milieu (nutriment, volume disponible) rendent préférable, ensuite, le choix d'un modèle de Verhulst (1838).

$\frac{df}{dt} = af(f-b)$ dans le domaine du continu
$u_{n+1} =au_n(u_n - b)\,$ dans le cas discret

avec tout le caractère chaotique que peut présenter une telle suite logistique.

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