Corrélation partielle

Le cœfficient de corrélation partielle, noté ici r A B. C, sert à connaître la valeur de la corrélation entre deux variables A et B, si la variable C était demeurée constante pour la série d'observations reconnues.

Formule

Le cœfficient de corrélation partielle, noté ici $r A B . C$ , sert à connaître la valeur de la corrélation entre deux variables A et B, si la variable C était demeurée constante pour la série d'observations reconnues.

Dit autrement, le cœfficient de corrélation partielle $r A B . C$ est le cœfficient de corrélation totale entre les variables A et B lorsque on leur a retiré leur meilleure explication linéaire en termes de C. Il est donné par la formule :

$r_{ABÀ = \dfrac{ r_{AB} - r_{AC}\cdot r_{BC}}{\sqrt{ 1-r_{AC}ˆ2}\cdot\sqrt{ 1-r_{BC}ˆ2}}$

Démonstration géométrique

La démonstration la plus rapide de la formule consiste à s'appuyer sur l'interprétation géométrique de la corrélation (cosinus).

Les séries d'observations A, B et C, une fois centrées réduites, sont des vecteurs centrés OA, OB, OC de longueur unité :

Leurs extrémités déterminent un triangle sphérique ABC, dont les côtés a, b et c sont les arcs de grands cercles BC, AC et AB. Les cœfficients de corrélations entre ces vecteurs sont $r B C = c o s (a)$ , $r A C = c o s (b)$ et $r A B = c o s (c)$ . Alors la loi principale des triangles sphériques donne, pour l'angle C, la relation suivante entre les cosinus :

$cos(C) = \dfrac{cos(c)-cos(a)Às(b)}{sin(a).sin(b)} = \dfrac{cos(c)-cos(a)Às(b)} {\sqrt{1-cosˆ2(a)}\cdot\sqrt{1-cosˆ2(b)}}$

De même que c est l'angle entre les points A et B, vus du centre de la sphère, C est l'angle sphérique entre les points A et B, vus du point C à la surface de la sphère, et $r A B . C = c o s (C)$ est la «corrélation partielle» entre A et B lorsque C est fixé.

Domaines d'application

La notion de corrélation partielle est utilisée

en modélisation par régression linéaire multiple,
en analyse de données par iconographie des corrélations.

Références

(en) Y. A. Fisher (1924). "The distribution of the partial correlation cœfficient". Metron 3 (3–4) : 329–332.
(en) Mathematical formulæ in the "Description" section of the IMSL PCORR routine

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