Corrélation partielle

Le cœfficient de corrélation partielle, noté ici r A B. C, sert à connaître la valeur de la corrélation entre deux variables A et B, si la variable C était demeurée constante pour la série d'observations reconnues.



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Formule

Le cœfficient de corrélation partielle, noté ici rAB. C, sert à connaître la valeur de la corrélation entre deux variables A et B, si la variable C était demeurée constante pour la série d'observations reconnues.


Dit autrement, le cœfficient de corrélation partielle rAB. C est le cœfficient de corrélation totale entre les variables A et B lorsque on leur a retiré leur meilleure explication linéaire en termes de C. Il est donné par la formule :


 r_{ABÀ = \dfrac{ r_{AB} - r_{AC}\cdot r_{BC}}{\sqrt{ 1-r_{AC}ˆ2}\cdot\sqrt{ 1-r_{BC}ˆ2}}


Démonstration géométrique

La démonstration la plus rapide de la formule consiste à s'appuyer sur l'interprétation géométrique de la corrélation (cosinus).

Les séries d'observations A, B et C, une fois centrées réduites, sont des vecteurs centrés OA, OB, OC de longueur unité :

PartialCorrelation.png

Leurs extrémités déterminent un triangle sphérique ABC, dont les côtés a, b et c sont les arcs de grands cercles BC, AC et AB. Les cœfficients de corrélations entre ces vecteurs sont rBC = cos (a) , rAC = cos (b) et rAB = cos (c) . Alors la loi principale des triangles sphériques donne, pour l'angle C, la relation suivante entre les cosinus :

 cos(C) = \dfrac{cos(c)-cos(a)Às(b)}{sin(a).sin(b)} = \dfrac{cos(c)-cos(a)Às(b)}
{\sqrt{1-cosˆ2(a)}\cdot\sqrt{1-cosˆ2(b)}}


De même que c est l'angle entre les points A et B, vus du centre de la sphère, C est l'angle sphérique entre les points A et B, vus du point C à la surface de la sphère, et rAB. C = cos (C) est la «corrélation partielle» entre A et B lorsque C est fixé.

Domaines d'application

La notion de corrélation partielle est utilisée

Références

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